Ulikheter, kvadrering og fortegnsskifte
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Emnetittelen er vel beskrivende... Hvordan behandler en kvadrering av ulikheter? -3 < 2 stemmer, men ikke 9 < 4. Er det ikke slik at en må ha kjennskap til om tallene en kvadrerer med er negative eller positive for å kunne kvadrere en ulikhet? Jeg opplever at lærebøker kvadrerer ulikheter i hytt og pine, men de benytter seg kanskje da av forbehold om at tallene på begge sidene i ulikheten er positive, o.l.!?
Men hva hvis bare en av sidene er negative, Emomilol? Eller hvis den ene siden er negativ i et visst løsningsintervall? Disse spørsmålene blir aktuelle hvis du har en ulikhet med en kvadratrot. Generell fremgangsmåte for slike problem finner du her:
http://planetmath.org/encyclopedia/Squa ... ality.html
http://planetmath.org/encyclopedia/Squa ... ality.html
Skal oppsummere det som står på siden kjapt.
Det er to tilfeller:
sqrt(a)<b (1)
sqrt(a)>b (2)
Tilfelle (1) er lett. a og b må være større enn null, siden a står under en kvadratrot, og resultatet av å ta en kvadratrot alltid er positivt. Da kan man uten problemer kvadrere begge sidene.
I tilfelle (2), må man ta utgangspunkt i at a skal være større enn null. Man ender opp med to del-løsninger som kombineres. Eksempel:
a=2x+3 og b=2x gir ulikheten
sqrt(2x+3)>2x
a>0 gir 2x+3>=0 --> x>-3/2, altså må x være større enn -3/2. Vi ser først på tilfellet der x er negativ: -3/2<=x<0. Dette er den ene del-løsningen.
Så kan vi se på tilfellet der x er positiv. Da er begge sidene positive, og vi kan kvadrere begge sidene:
2x+3>4x^2
4x^2-2x-3<0
4(x-1,15)(x+0,65)<0
Ved å bruke fortegnsskjema finner man at 0<=x<1,15 (siden x nå skulle være positiv). Dette er den andre del-løsningen
Kombinasjonen av disse gir -3/2<=x<1,15
Men hva hvis b=-2x ?
Da har vi ulikheten
sqrt(2x+3)>-2x
2x+3>=0 gir som før x>=-3/2, og ved å se på der x er negativ får vi nok en gang 0>x>=-3/2 som den første del-løsningen.
Nå ser vi på tilfellet der x er positiv:
sqrt(2x+3)>-2x
Siden x er positiv er -2x negativ, og ulikheten stemmer for alle positive x da resultatet av å ta kvadratroten av noe alltid er positivt, og dermed større enn noe negativt. Den andre del-løsningen blir 0<=x<Inf.
Kombinasjonen gir -3/2<=x<Uendelig
Det er to tilfeller:
sqrt(a)<b (1)
sqrt(a)>b (2)
Tilfelle (1) er lett. a og b må være større enn null, siden a står under en kvadratrot, og resultatet av å ta en kvadratrot alltid er positivt. Da kan man uten problemer kvadrere begge sidene.
I tilfelle (2), må man ta utgangspunkt i at a skal være større enn null. Man ender opp med to del-løsninger som kombineres. Eksempel:
a=2x+3 og b=2x gir ulikheten
sqrt(2x+3)>2x
a>0 gir 2x+3>=0 --> x>-3/2, altså må x være større enn -3/2. Vi ser først på tilfellet der x er negativ: -3/2<=x<0. Dette er den ene del-løsningen.
Så kan vi se på tilfellet der x er positiv. Da er begge sidene positive, og vi kan kvadrere begge sidene:
2x+3>4x^2
4x^2-2x-3<0
4(x-1,15)(x+0,65)<0
Ved å bruke fortegnsskjema finner man at 0<=x<1,15 (siden x nå skulle være positiv). Dette er den andre del-løsningen
Kombinasjonen av disse gir -3/2<=x<1,15
Men hva hvis b=-2x ?
Da har vi ulikheten
sqrt(2x+3)>-2x
2x+3>=0 gir som før x>=-3/2, og ved å se på der x er negativ får vi nok en gang 0>x>=-3/2 som den første del-løsningen.
Nå ser vi på tilfellet der x er positiv:
sqrt(2x+3)>-2x
Siden x er positiv er -2x negativ, og ulikheten stemmer for alle positive x da resultatet av å ta kvadratroten av noe alltid er positivt, og dermed større enn noe negativt. Den andre del-løsningen blir 0<=x<Inf.
Kombinasjonen gir -3/2<=x<Uendelig