ikke-linære likningssett

[mira]

en litt vrien nøtt:
alderen til per,pål og espen er tilsammen 37 år. multipliserer vi er de 1728 år. forholdet mellom alderen til per og alderen til pål er lik forholdet til alderen til pål og espen. hvor gamle er per. pål og espen?

hvordan løser jeg denne?:S

[Gjest]

I:a+b+c=37

II:abc=1728

III:a/b =b/c -> ac=bb settes inn i II: b^3=1728 ->b=12

nå vet vi at:
a + c = 25
a * c = 144

da må
a * (25-a) = 144
aa - 25a = -144
(a - 12,5)^2 = -144 +12,5^2
a - 12,5 = +-sqrt(156,25-144)=+-3,5

a= 12,5 +3,5 = 16
c= 12,5 -3,5 = 9

[knutn1]

knekk heller denne

Jeg har tre unger. I fjor var situasjonen denne: Den eldste var dobbelt så gammel som den yngste og 1,5 ganger så gammel som hun i midten. For tre år siden var den eldste like gammel som de to yngste til sammen. For to år siden var de tre ungenes alder til sammen akkurat halvparten av min alder. Hvor gammel er jeg ?

'altfor gammel'?
knut

[Gjest]

knekk heller denne

Jeg har tre unger. I fjor var situasjonen denne: Den eldste var dobbelt så gammel som den yngste og 1,5 ganger så gammel som hun i midten. For tre år siden var den eldste like gammel som de to yngste til sammen. For to år siden var de tre ungenes alder til sammen akkurat halvparten av min alder. Hvor gammel er jeg ?

'altfor gammel'?
knut

ikke så veldig

[Gjest]

Ligningssett:

I. (E - 1) = 2(Y - 1)
II. (E - 1) = 3/2 (M - 1)
III. (E - 3) = (M - 3) + (Y - 3)
IV. (F - 2) = 2 * ((E - 2) + (M - 2) + (Y - 2))

Der E = eldst, M = "hun i midten", Y = yngst og F = faren.
Fant at faren var 91,33' år gammel.

Riktig?

[knut1]

regn om. Jeg går enda for egen motor (uten rullator!)

du er jo inne på noe, ungene mine er i barneskolen.
Knut

[my]

Etter mye om og men har jeg bestemt meg for at Knut er 48 år. ...og i følge klokka mi kommer jeg til å forsove meg i morra

[mathvrak]

Ligningssett:

I. (E - 1) = 2(Y - 1)
II. (E - 1) = 3/2 (M - 1)
III. (E - 3) = (M - 3) + (Y - 3)
IV. (F - 2) = 2 * ((E - 2) + (M - 2) + (Y - 2))

Der E = eldst, M = "hun i midten", Y = yngst og F = faren.
Fant at faren var 91,33' år gammel.

Riktig?

Jeg brukte samme likninger og bokstaver som deg. Løste først I, II og III for E, M, og Y. (Gauss eliminasjon, og substitusjon) Fikk E=13, M=9 og Y=7.

Kontroll:
I. E-1 = 2(Y-1) => 13-1 = 2(6) => 12=12 ok
II. E-1 = 2/3 (M-1) => 13-1 = 3/2 8 => 12=12 ok
III. E-3 = M-3 + Y-3 => 13-3 = 9-3 + 7-3 => 10 = 10 ok
Alderene går opp i alle likningene for de tre ukjente, så alderne må være riktig. Du er

IV. F - 2 = 2 * ( E-2 + M-2 + Y-2)
F = 2*( E+M+Y-6 ) + 2
= 2*( 13+9+7 - 6) + 2
= 2*( 22 +1 ) +2
= 2*23+2
= 48

48 år gammel.

kontroll:

IV 48-2 = 2*( 13-2+9-2+7-2)
46 = 2*(13+9+7-6)
46 = 2*(23) ok

[Gjest]

Hmm, det var interessant, mathvrak - kanskje jeg faktisk kan lære noe nytt.

Det jeg gjorde var å isolerte Y og M, og så stappe disse uttrykkene inn i ligning III. Jeg fikk:

Y = E + 1/2 og
M = 2E + 1/3

Hvordan ser du at du må bruke Gauss' metode, og hvor kan jeg lese mer om den. Hva er forresten "substitusjon"? Er det "å stappe inn"?

Et siste spørsmål:

(E + 1/2) - 1 = ... Må jeg forandre fortegnet foran ett-tallet her hvis jeg skal løse opp parantesen? Jeg må vel det?

[knut1]

Sjef.
det stemmer bra. jeg er 48.

Knut

[mathvrak]

hum når du sier det, så var det faktisk ganske smart å isolere Y og M og sette inn i likning III og løse E.

Substituere betyr å "bytte ut"/"erstatte". Kan godt si stappe inn er nok noe i samme duren

Hvis uttrykket du har skrivi er riktig, så er parantesene overflødige og du kan fjerne dem (da det ikke står noen faktorer forran eller etter parantesene. Generelt ikke nødvendig med paranteser rundt ledd. Jeg trur ikke likningene dine er riktig. Prøv igjen. Du må vel også dele E på 2 ?

E-1=2(Y-1) , E - 1 = 2Y - 2 , E -1 +2 = 2Y, E + 1 = 2Y , Y = 1/2(E+1)

Gauss eliminasjon er en metode for å løse likningsett. Det er ikke noe man må bruke, men et hjelpemiddel for å løse systematisk, feks i en datamaskin eller for hånd. Kan ta et enkelt eksempel:

3 ukjente, a b c og tre likninger:

Kode: Velg alt

L1: a + b + c = 1 |
L2:-a +2b + c = 2 |
L3:-a -2b + c = 3 |
------------------

Gauss eliminasjon er metode som man
forenkler likningsettet til at man kan
lettere løse ut de ukjente. Man kan kalle
det for en algoritme.  Man ønsker
å "nulle" ut de faktorene som er i
nederste eller øverste hjørne. Man har
lov til å legge sammen likninger,
legge sammen multippel av likninger,
endre på rekkefølgen av likningene uten
at løsningen av systemet endrer seg.
På denne måten kan vi starte med å få
bort (-a) i L3 ved å summere L1 og L3.
For å gjøre det litt enklere, skriver
jeg en pil fra L1 til L3.

L1: a + b + c = 1 |--.
L2:-a +2b + c = 2 |  | (summere L1 og L3)
L3:-a -2b + c = 3 |<-'
------------------

L1: a + b + c = 1 |
L2:-a +2b + c = 2 |
L3: 0 - b +2c = 4 |
------------------

Har nå redusert L3. Å fjerne "-b" i L3
har ingen hensikt fordi da kommer "a"
tilbake igjen. Fjerner derfor FØRST "-a" i
L2 ved å legge sammen L1 og L2 inn i L2

L1: a + b + c = 1 |--.
L2:-a +2b + c = 2 |<-'
L3: 0 - b +2c = 4 |
------------------

L1: a + b + c = 1 |
L2: 0 +3b +2c = 3 |
L3: 0 - b +2c = 4 |
------------------

Det siste vi må gjøre nå er å få en
nuller hvor det står "-b" i L3. Dette
er nå mulig uten å ødelegge nuller som
står forran -b ved å legge sammen L2 og
3*L3. 

L1: a + b + c = 1 |
L2: 0 +3b +2c = 3 |----.
L3: 0 - b +2c = 4 |(3)<'
------------------

L1: a + b + c = 1    |
L2: 0 +3b +2c = 3    |
L3: 0 + 0 +8c = 15   | :8
---------------------

L1: a + b + c = 1    |
L2: 0 +3b +2c = 3    |
L3: 0 + 0 + c = 15/8 |
---------------------


Har nå fått løsningen på
gauss-redusert form. Kan lese av direkte
at c=15/8. Putter dette inn i L2 og løser b,
Putter c og b inn i likning L1 og løser a.
Ferdig.

Videre. Hadde vi fortsatt å eliminere nuller,
ved å bruke L3 for å lage nullere hvor det står
2c og c i L2 og L1, så brukt L2 for å nulle ut
b i L1 ville løsningen blitt seende noe slikt ut

a + 0 + 0 = tall1
0 + b + 0 = tall2
0 + 0 + c = tall3

så kan vi lese av løsningen for a, b og c
direkte. Dette er en metode som kan brukes til
programmering, og kalles Gauss-Jordan Eliminasjon.
For oss vanlig dødelige går det raskere å Gauss-eliminere
for så å substituere bakover slik som vist over.

Som du ser over skriver vi a b og c veldig mange ganger.
Det er ikke uvanlig å skrive likningene som totalmatriser
for da slipper du å skrive bokstavene. Så likningen på
toppen kan skrives som total matrisen

/  1  1  1  |  1 \
| -1  2  1  |  2 |   og videre gjøre operasjoner på denne
\ -1 -2  1  |  2 /

hvor hver linje i matrisen er faktorene i likningen. Så hvis
vi skal skrive 

a + 0 + 0 = 1
0 + b + 0 = 2
0 + 0 + c = 3

på total matrisen blir den seende slik ut.

/  1  0  0  |  1 \
|  0  1  0  |  2 | 
\  0  0  1  |  3 /

Kan være greit med datamaskiner eller hvis du skal løse mange
likninger og ukjente for hånd

Hadde der vært fem likninger fem ukjente kunne det
sett noe slikt ut

/  1  2   4  1  -1 | -1 \
|  0  1   4  4   1 |  7 |
| -1  1  -1  1   1 | -1 |
|  1  1   1  1   1 | -1 |
\  4  3   2  1  -1 | 1  /

Hvor likning 1 er a + 2b + 4c + 1d - e = -1 og
a b c d e er de fem ukjente. Da etter litt gausseliminering
kan man komme frem til noe slikt (ikke riktig løsning, men
bare for å illustrere nullene som dukker opp)

/  1  2   4  1  -1 | -1 \
|  0  1   4  4   1 |  7 |
|  0  0   1  1   1 | -1 |
|  0  0   0  1   1 | -1 |
\  0  0   0  0   1 | 1  /

Du ser man har enere på diagonalen og vi kan lese av at
e=1 i nederste linje, bruke denne for å løse linjen over
osv osv..

[Gjest]

hum når du sier det, så var det faktisk ganske smart å isolere Y og M og sette inn i likning III og løse E.

Substituere betyr å "bytte ut"/"erstatte". Kan godt si stappe inn er nok noe i samme duren

Hvis uttrykket du har skrivi er riktig, så er parantesene overflødige og du kan fjerne dem (da det ikke står noen faktorer forran eller etter parantesene. Generelt ikke nødvendig med paranteser rundt ledd. Jeg trur ikke likningene dine er riktig. Prøv igjen. Du må vel også dele E på 2 ?

E-1=2(Y-1) , E - 1 = 2Y - 2 , E -1 +2 = 2Y, E + 1 = 2Y , Y = 1/2(E+1)
...
[/code]

Joda, de var riktige, men jeg mente:

Y = (E + 1)/2 og
M = (2E + 1)/3.

Derimot hadde jeg regnet feil. Knall post forresten. Skal studere Gauss-metoden nå.

[knut1]

flott, gutter og jenter.
Matriseregninegner gammel!. forkastet av de samtidige,- for så å dukke opp igjen i moderne matematikk.
Det er ingen grunn til å forstå problemet 'ihjel' . Jeg er 48 både i dag og i morgen.


Hvis oppgaven var 'artig',.. så kan seg spe på ded datoer, så kan du finnen bursdagen min også...

Knut

[mathvrak]

Mulig jeg misforstår men Matriseteorien ble utviklet rundt 1860 av den britiske matematikeren Arthur Cayley. Men begrepet "matrise" ble først nevnt i matematikklitteraturen i et arbeid som James J. Sylvester offentliggjorde i 1850. I 1925 oppdaget den tyske fysikeren Werner Heisenberg at han kunne bruke matriser til å utvikle kvantemekanikken. For det fikk Heisenberg Nobelprisen i fysikk i 1932 (fritt etter læreboka mi).
Siden matematikk er tusenvis av år gammelt, så er vel dette relativt nytt og moderne?

Gi oss noen datoer (lage ny tråd? for det står "ikke lineære likninger" litt misvisende)