arctan

[akihc]

Hvordan løser man denne?;

[tex]arctan(x)=\frac{\pi}{4}[/tex]

[Vektormannen]

Ta tangens av begge sider:

[tex]\tan(\arctan(x)) = \tan(\frac{\pi}{4})[/tex]

Hva tror du skjer med venstresida?

edit: ta tangens på begge sider, ikke sinus, for all del!

[akihc]

Hvorfor tar du sinus på begge sider? Jeg skjønner ikke hva du prøver på.

[Vektormannen]

Ok, forklarer det enklere:

[tex]\arctan(x) = \frac{\pi}{4}[/tex]

Denne ligninga sier at [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] er vinkelen som har tangensverdien x. Når du tar arctan av x, skal du få [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]. Er du enig i at x da må være lik tangensverdien til [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]? Hvis ikke hadde du jo ikke fått [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] når du tok arctan av den.

Rent "mekanisk" løser man denne slik man løser f.eks. ligninger på formen [tex]e^x = k[/tex] eller [tex]sqrt{x} = k[/tex]. Er du enig i at når du løser disse så utfører du den motsatte operasjonen av de operasjonene som skjer i ligningen? I den første ligninga ville du tatt logaritmen på begge sider. [tex]\ln(x)[/tex] og [tex]e^x[/tex] "opphever" jo hverandre -- de er det som kalles inverse funksjoner. På samme måte er [tex]x^2[/tex] og [tex]\sqrt x[/tex] inverse funksjoner. Bruker du den ene funksjonen på den andre og omvendt, ender du opp med x. Dette var sikkert litt krøkkete forklart, men det er det samme du gjør for å løse denne arctan-ligninga. arctan og tan er inverse funksjoner, så tar du tan av arctan ender du opp med x.

edit: endra fra sin til tan og arcsin til arctan...

[gabel]

Ta sinus av begge sider:

[tex]\sin(\arcsin(x)) = \sin(\frac{\pi}{4})[/tex]

Hva tror du skjer med venstresida?

Er heller ikke helt med her, sikker på at det ikke skal være:

[tex]\tan(\arctan(x)) = \tan(\frac{\pi}{4})[/tex]

[Vektormannen]

wtf .. jeg har av en eller annen grunn fått det for meg at det sto arcsin! Ikke rart det var litt uforståelig da ja.

[gabel]

bra, starta virkelig og lure på hva du hadde tenk deg

[akihc]

hehe....


så x=1

hva betyr ordet invers?

[Vektormannen]

I matematisk sammenheng kan invers bety flere ting, etter hvilket område det blir brukt i, men generelt betyr det noe "motsatt" eller noe som "opphever" noe.

Når man har med tall å gjøre så er inversen av et tall k lik tallet [tex]k^{-1} = \frac{1}{k}[/tex]. Når vi mulitpliserer disse to tallene får vi alltid 1. Inversen av en funksjon f er funksjonen [tex]f^{-1}[/tex] som gir oss tilbake x når vi tar [tex]f^{-1}(f(x))[/tex], på lignende måte som at produktet [tex]k \cdot k^{-1}[/tex] alltid er lik 1.

Et eksempel: [tex]f(x) = x^2[/tex] og [tex]f^{-1}(x) = \sqrt x[/tex]:

[tex]f(f^{-1}(x)) = f(\sqrt x) = (\sqrt x)^2 = x[/tex]

[tex]f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(x^2) = \sqrt{x^2} = x[/tex]

Vi ser altså at funksjonene opphever hverandre og er derfor inverse av hverandre.

tan og arctan er også inverse av hverandre. Derfor kaller man ofte arctan for [tex]tan^{-1}[/tex] for å følge konvensjonen.

vet ikke om dette hjalp deg noe men

[akihc]

Det var til hjelp ja.