Lodves mattetråd.

[MatteNoob]

BMB: Hehehehe

@ Lodve:
Vel, Lodve, pga lav aktivitet i forumet her, har jeg tatt meg tid til å lage denne oppgaven til deg. Nå får vi se om du er mann nok til å løsrive deg fra hånden vi har holdt deg i (og løpesnora).

[lodve]

Veldig sterke ord her Razz Jo, dere har rett, har ikke vist nok initiativ til å slå opp i diverse ting. Men oppgaver som jeg legger ut her, er oppgaver jeg ikke helt forstår på, og trenger derfor hjelp fra dere.

Og dessuten har jeg gått 1 karakter opp p.g.a deres hjelp. Jeg har aldri sagt at jeg får dårlig karakter i matte, jeg spurte hvordan man får en sekser i matte.

Dere er enig med meg at jeg ikke burde hoppe over oppgaver selv om de kan virke lette til å begynne med, men likevel så klarer man ikke å løse den?

Men kan dere hjelpe meg med oppgaven ovenfor?

Du sier du ikke har initiativ, men du poster jo oppgaver som styggen sjøl. Det viser initiativ, men du angriper situasjonene på en svært merkelig måte. Det er flott at du spør når du lurer, men som det ble nevnt tidligere i tråden, så tror jeg du får problemer hver gang det dukker opp ting du ikke har sett før.

Har jeg rett, hvis jeg sier at formelboka di er proppet av notater og eksempler?

Det er lurt av deg å drive med eksamensoppgaver, for det er god trening, men gjør idet minste det de ber deg om...

Flott å høre at karakteren din går oppover.

Se her hvor lett denne oppgaven kan løses, bare du drar frem tegnesakene:



I det røde feltet, kan hunden bevege seg. Ser du hvor enkelt det er med tegning?

Her ser vi at hunden kan oppholde seg i en halvsirkel med r=2 og en kvartsirkel med r=1

[tex]A_{\circ} = \pi r^2[/tex]

[tex]A_{hund} = \frac \pi 2 R^2 + \frac \pi4 \pi r^2 \Rightarrow \frac {4\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \underline{\underline{\frac{9\pi}{4}}}[/tex]

Jeg tror det er feil skrevet å finne arealet av kvartsirkelen.


Er ikke det: [symbol:pi] *R*R/4?

[ettam]

neida!

Det røde arealet består av en halvsirkel med radius R = 2, og en kvartsirkel med radius r = 1.

Les igjennom det MatteNoob har gjort en gang til! Da ser du at han sier det mot slutten. Ok ?

Her ser vi at hunden kan oppholde seg i en halvsirkel med r=2 og en kvartsirkel med r=1

[lodve]

Hvis jeg tenker riktig nå så tror jeg husveggen er 3 meter der bådet til hunden er festet til. Og i tillegg 1 meter utenfor husveggen som totalt er 4 meter (diameteren til halvsirkelen). Men så vet vi jo det at båndet til huden er festet en meter fra hushjørnet og når den når utenfor husveggen så består båndet av 1 meter igjen og når den når på den andre siden av husveggen er det kvartsirkelen til radius med 1 meter.

[ettam]

...og da er spørsmålet ditt...?

[lodve]

Nei, skulle bare se om jeg tenkte riktig

[lodve]

Hei igjen!






På oppgave D) så har jeg prøvd ut alle mulige måter. Jeg har prøvd å finne sannsyligheten for at det ikke snør i to dager og brukt komplementærsetningen uten at det lykkes. Har prøvd å finne sannsynligheten for at det ikke snør i fem dager og brukt komplementærsetningen. Har brukt produktsetningen ved å multiplisere 0,7 med seg selv to ganger.


Hvordan løser jeg den da hvis dette ikke er riktig ?

[zell]

Dette er binomisk sannsynlighet.

Sannsynlighet for at det snør: 0.7
Sannsynlig for at det ikke snør: 0.3

X = det snør

det er 7 dager i en uke.

[tex]P(X=2) = {7\choose 2} \cdot 0.7^2 \cdot 0.3^5 = 0.025[/tex]

Greia her er at du må finne ut hvor mange ulike måter to kan trekkes ut av 7 på. Det sies ikke at det skal snø to etterfølgende dager, men to dager i løpet av uka.

S = Snø, O = Opphold
Vi har:

1. SSOOOOO
2. SOSOOOO
3. SOOSOOO
4. SOOOSOO
5. SOOOOSO
6. SOOOOOS
7. OSSOOOO
8. OSOSOOO
9. OSOOSOO
10. OSOOOSO
11. OSOOOOS
12. OOSSOOO
13. OOSOSOO
14. OOSOOSO
15. OOSOOOS
16. OOOSSOO
17. OOOSOSO
18. OOOSOOS
19. OOOOSSO
20. OOOOSOS
21. OOOOOSS

Altså har du 21 ulike tilfeller hvor det snør to ganger iløpet av uka.

[MatteNoob]

Lodve, siden Zell var så snill å utlede oppgaven for deg, tenkte jeg å gi deg en liten utfordring. Den er basert på det Zell har vist deg, men er litt mer tricky. (Oppgaver av denne typen er ofte gitt på eksamen).

Hva er sannsynligheten for at det snør minst tre dager i en uke?

[lodve]

Fasiten sier 0.03 Litt merkelig.

Fikk samme svar som deg, men fasiten sier noe annet. Fasiten har visst feil.

[lodve]

Lodve, siden Zell var så snill å utlede oppgaven for deg, tenkte jeg å gi deg en liten utfordring. Den er basert på det Zell har vist deg, men er litt mer tricky. (Oppgaver av denne typen er ofte gitt på eksamen).

Hva er sannsynligheten for at det snør minst tre dager i en uke?

Minst 3 vil vel si 3 og oppover, ikke sant? Minst 3 av 7 er 4, 5, 6, 7, altså fire dager, og sannsynligheten er 0,7 for at det snør. Med dette kan jeg bruke produktsetningen som er 0,7^4. Har jeg tenkt riktig?

[zell]

Ja.

Fasiten har enkelt og greit rundet 0.025 opp til 0.03, etter gjeldende avrundingsregler!

[MatteNoob]

Lodve, siden Zell var så snill å utlede oppgaven for deg, tenkte jeg å gi deg en liten utfordring. Den er basert på det Zell har vist deg, men er litt mer tricky. (Oppgaver av denne typen er ofte gitt på eksamen).

Hva er sannsynligheten for at det snør minst tre dager i en uke?

Minst 3 vil vel si 3 og oppover, ikke sant? Minst 3 av 7 er 4, 5, 6, 7, altså fire dager, og sannsynligheten er 0,7 for at det snør. Med dette kan jeg bruke produktsetningen som er 0,7^4. Har jeg tenkt riktig?

Du sier det både riktig og feil.

Minst 3 er ikke 4,5,6 og 7, men 3, 4, 5, 6 eller 7 dager. Du kan ikke si fire dager, for enten snør det, eller så snør det ikke! Vi lurer på sannsynligheten for at det snør 3, 4, 5, 6 eller 7 dager i en vilkårlig uke!

Klarer du denne? (Da blir det stjerne i boka)

Jeg minner igjen om det Zell viste deg. Han kalkulerer sannsynligheten for at det snør akkurat 2 dager i en uke.

[tex]P(X=2) = {7\choose 2} \cdot 0.7^2 \cdot 0.3^5 = 0.025[/tex]

Edit:

Siden det ikke har kommet noe svar enda, så minner jeg om addisjonssetningen:

[tex]P(A\cup B) = P(A) + P(B)[/tex]

Merk at [tex]P(A\cup B)[/tex] leses "A eller B" og at:

[tex]P(A\cup B \cup C \cup \,\ldots \cup n) = P(A) + P(B) + P(C) +\, \ldots + P(n)[/tex]

Klarer du denne, så skal jeg vise deg noe veldig nyttig du kan bruke i sannsynlighetsregning, nemlig: [tex]\sum[/tex]

[lodve]

Lodve, siden Zell var så snill å utlede oppgaven for deg, tenkte jeg å gi deg en liten utfordring. Den er basert på det Zell har vist deg, men er litt mer tricky. (Oppgaver av denne typen er ofte gitt på eksamen).

Hva er sannsynligheten for at det snør minst tre dager i en uke?

Minst 3 vil vel si 3 og oppover, ikke sant? Minst 3 av 7 er 4, 5, 6, 7, altså fire dager, og sannsynligheten er 0,7 for at det snør. Med dette kan jeg bruke produktsetningen som er 0,7^4. Har jeg tenkt riktig?

Du sier det både riktig og feil.

Minst 3 er ikke 4,5,6 og 7, men 3, 4, 5, 6 eller 7 dager. Du kan ikke si fire dager, for enten snør det, eller så snør det ikke! Vi lurer på sannsynligheten for at det snør 3, 4, 5, 6 eller 7 dager i en vilkårlig uke!

Klarer du denne? (Da blir det stjerne i boka)

Jeg minner igjen om det Zell viste deg. Han kalkulerer sannsynligheten for at det snør akkurat 2 dager i en uke.

[tex]P(X=2) = {7\choose 2} \cdot 0.7^2 \cdot 0.3^5 = 0.025[/tex]

Hvis jeg tenker riktig nå så tror jeg vi skal finne sannsynligheten for 3, 4, 5, 6 eller 7 dager av en uke ved å bruke bionomiske forsøk. Først benytter vi bionomiske forsøk på 3 og plusser det på bionomisk forsøk 4 og plusser det på bionomisk forsøk 5 og plusser det bionomisk forsøk 6 og plusser det bionomisk forsøk 7.

[MatteNoob]

Det stemmer Lodve! Godt tenkt, du begynner å se sammenhengen nå. Som du sier, kan dette uttrykkes slik:

[tex]{{7} \choose {3}} \cdot \left(0.70\right)^{3} \cdot \left(0.30\right)^{4}\, +\, {{7} \choose {4}} \cdot \left(0.70\right)^{4} \cdot \left(0.30\right)^{3}\, +\, {{7} \choose {5}} \cdot \left(0.70\right)^{5} \cdot \left(0.30\right)^{2}\, +\, {{7} \choose {6}} \cdot \left(0.70\right)^{6} \cdot \left(0.30\right)^{1}\, +\, \left(0.70\right)^{7}[/tex]

Som du ser, får vi 5 ledd ved å kalkulere sannsynligheten for 3, 4, 5, 6 eller 7 dager med snø i ei uke. Dette kunne også vært uttrykkt ved å bruke komplementærsetningen, og det vil spare oss for ekstra "arbeid" da uttrykket blir kortere.

Ved å bruke komplementær sannsynlighet, blir uttrykket slik:

[tex]1-\left( \left(0.30\right)^7\, + \, {{7} \choose {1}} \cdot \left(0.70\right)^{1} \cdot \left(0.30\right)^{6}\, +\, {{7} \choose {2}} \cdot \left(0.70\right)^{2} \cdot \left(0.30\right)^{5}\right)[/tex]

Disse to uttrykkene er ekvivalente.

Så over til det jeg ville lære deg. I situasjoner med binomisk sannsynlighet, kan vi ofte få mye større antall å forholde oss til, feks:

Du har 50 frø. Hvert frø spirer med en sannsynlighet på 70%. Hva er sannsynligheten for at minst 25 frø spirer? Du skjønner selv at det blir en stor prossess å regne ut dette ved å bruke "ledd" for hver sannsynlighet slik som ovenfor, og det er her summering kommer inn i bildet.

For å gjøre dette klart, bruker jeg igjen eksemplet med snødager, slik at du forhåpentligvis ser sammenhengen.

[tex]\sum_{x=3}^{7}\, {{7} \choose {x}} \cdot \left(0.70\right)^{x} \cdot \left(0.30\right)^{7-x}[/tex]

Dette uttrykket, betyr akkurat det samme som:
[tex]{{7} \choose {3}} \cdot \left(0.70\right)^{3} \cdot \left(0.30\right)^{4}\, +\, {{7} \choose {4}} \cdot \left(0.70\right)^{4} \cdot \left(0.30\right)^{3}\, +\, {{7} \choose {5}} \cdot \left(0.70\right)^{5} \cdot \left(0.30\right)^{2}\, +\, {{7} \choose {6}} \cdot \left(0.70\right)^{6} \cdot \left(0.30\right)^{1}\, +\, \left(0.70\right)^{7}[/tex]

Videre har vi at:

[tex]1-\left(\sum_{x=0}^2 {{7} \choose {x}} \cdot \left(0.70\right)^{x} \cdot \left(0.30\right)^{7-x}\right)[/tex]

Betyr akkurat det samme som:

[tex]1-\left( \left(0.30\right)^7\, + \, {{7} \choose {1}} \cdot \left(0.70\right)^{1} \cdot \left(0.30\right)^{6}\, +\, {{7} \choose {2}} \cdot \left(0.70\right)^{2} \cdot \left(0.30\right)^{5}\right)[/tex]

Alle de 4 forskjellige uttrykkene er altså løsningen på oppgaven jeg ga deg, og alle gir dermed følgelig samme svar. [symbol:sum] betyr å summere, og du ser at variabelen x, i det siste tilfellet, går fra 0 til 2.

Dette kan du plotte inn på lommeregneren din på følgende måte:

Gå inn i "RUN"
Klikk på tasten "OPTN"
Plott "F4" for "CALC"
Tast "F6" for ">"
Trykk "F3" for "[symbol:sum]("

I RUN vinduet ditt nå, står [symbol:sum](

Her skal du skrive inn uttrykket slik:

[tex]\Sigma\left(7CX \times (0.7)\^X \times (0.3)\^(7-X),\, X,\, 3,\, 7, \,1\right)[/tex]

Dette uttrykket er det samme som:
[tex]\sum_{x=3}^{7}\, {{7} \choose {x}} \cdot \left(0.70\right)^{x} \cdot \left(0.30\right)^{7-x}[/tex]

For å beskrive hva [tex]\Sigma\left(7CX \times (0.7)\^X \times (0.3)\^(7-X),\, X,\, 3,\, 7, \,1\right)[/tex] betyr:

Summeringstegnet først, deretter det binomiske uttrykket. Vi angir så X som variabel etter komma, deretter at vi skal starte på 3 og summere til 7 med økning på 1 hver gang. (Du kunne feks puttet 2 her, og summert annenhver binomisk sannsynlighet).

Hvis du har trykket riktig, skal du får 0.9712045 hvilket er sannsynligheten for at det snør 3, 4, 5, 6 eller 7 dager.

Når det gjelder C, så er dette nCr, men det visste du helt sikkert allerede, hvis ikke, så finner du den under "OPTN", "PROB" :]

Håper du får det til, setter deg skikkelig inn i dette, da blir enhver binomisk sannsynlighetssituasjon kun et spørsmål om å "analysere og plassere" sannsynlighetene riktig. :]