matematikk.net

Hvis oppgaven er "integrer og forkort" bør du gå for den varianten med minst ledd, altså det korteste uttrykket, i dette tilfellet den første.

OK...

Men hva er egentlig den integrerte av produkter og kvotienter?

F.eks integrerte av x*e^x ?

Da må man bruke integrasjonsmetoder man ikke lærer før 3mx.

hmm, men det er en oppgave om det i 2MX boka mi. Men har funnet ut at en kan bruke følgende formel:
[symbol:integral] u`(x)*v(x) dx = u(x)*v(x) - [symbol:integral] v(x) dx

Der u(x) = x og v(x) = e^x

Stemmer det eller?
Fikk et tips av en kar, og fant formelen i formelsamlinga...

Det stemmer.

[tex]I = \int x \cdot e^x {\rm d}x[/tex]

Metoden heter delvis integrasjon, og brukes slik: Du "oppdager" at integralet ditt kan skrives som et produkt av to faktorer. Da kan du gjøre en omforming slik at du får et nytt integral, der den ene faktoren er derivert, og den andre faktoren er integrert.
I dette tilfellet kan vi identifisere den ene faktoren som [tex]x[/tex] og den andre faktoren som [tex]e^x[/tex]. Hvis vi lar [tex]x[/tex] bli derivert og [tex]e^x[/tex] bli integrert, sitter vi igjen med [tex]\int 1 \cdot e^x {\rm d}x[/tex], som er lett å løse.

Man viser metoden slik:

Vi kjenner produktregelen for derivasjon, som er slik:

[tex](u \cdot v)^\prime = u^\prime v + uv^\prime[/tex]

Vi integrerer på begge sider.

[tex]\int (u \cdot v)^\prime {\rm d}x = \int (u^\prime v + uv^\prime) {\rm d}x[/tex]

[tex]u \cdot v = \int (u^\prime v + uv^\prime) {\rm d}x[/tex]

[tex]u \cdot v = \int u^\prime v {\rm d}x + \int uv^\prime {\rm d}x[/tex]

Flytter over og bytter side, og da får vi regelen for delvis integrasjon:

[tex]\int u^\prime \cdot v {\rm d}x = u \cdot v - \int u \cdot v^\prime {\rm d}x[/tex]

Vi ser på integralet vårt igjen:

[tex]I = \int x \cdot e^x {\rm d}x[/tex]

Vi setter nå:

[tex]u^\prime = e^x[/tex], [tex]v = x[/tex]

[tex]u = e^x[/tex], [tex]v^\prime = 1[/tex]

Da er

[tex]I = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x {\rm d}x[/tex]

[tex]I = xe^x - e^x + C[/tex]

[tex]I = (x-1)e^x + C[/tex]

Du skulle blitt matematikklærer sEirik..

ssss.. får nå se