Så meg nødt til å bruteforce denne. Først faktorisering:
[tex]x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = (x^2+1)^2 - (\sqrt 2 x)^2 = (x^2 + \sqrt 2 x + 1)(x^2 - \sqrt 2 x + 1)[/tex]
I de neste stegene hopper jeg over delbøkoppspaltningen og noen mellomsteg. Det får være grenser for hva jeg gidder å skrive i tex
[tex]I = \int \frac{\rm{d}x}{x^4 + 1} \qquad = \qquad \int \frac{\rm{d}x}{(x^2+\sqrt 2 x + 1)(x^2 - \sqrt 2 x +1)} \qquad = \qquad \frac{1}{\sqrt{8}}\int \frac{x + \sqrt 2}{x^2 + \sqrt 2 x + 1} - \frac{x - \sqrt 2}{x^2 - \sqrt 2 x + 1} \rm{d}x[/tex]
Først:
[tex]I_{\rm{ekkel}} \qquad = \qquad \int \frac{x + \sqrt 2}{x^2 + \sqrt 2 x + 1} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{1}{2}\int \frac{2x + \sqrt 2}{x^2 + \sqrt 2 x + 1} + \frac{\sqrt 8 - sqrt 2}{x^2 + \sqrt 2 x + 1} \rm{d} x \\ = \qquad \frac{1}{2} \ln | x^2 + \sqrt 2 x + 1 | + \int \frac{\sqrt 8 - sqrt 2}{x^2 + \sqrt 2 x + 1} \rm{d} x[/tex]
Også:
[tex]I_{\rm{huff}} = \frac{\sqrt 8 - sqrt 2}{x^2 + \sqrt 2 x + 1} \rm{d} x \qquad = \qquad (\sqrt 8 - \sqrt 2)\int \frac{\rm{d}x}{(x + \frac{1}{\sqrt{2}})^2+ \frac{1}{2}} \qquad = \qquad 2\arctan(1 + \sqrt 2 x) [/tex]
Så
[tex]I_{\rm{ekkel}} \qquad = \qquad \frac{1}{2} \ln | x^2 + \sqrt 2 x + 1 | + 2\arctan(\sqrt 2 x + 1)[/tex]
På samme måte:
[tex]I_{\rm{usj}} \qquad = \qquad \frac{1}{2}\ln | x^2 - \sqrt 2 x + 1 | - 2\arctan(\sqrt 2 x - 1)[/tex]
Og så...
[tex]I \qquad = \qquad \frac{1}{\sqrt 8}(I_{\rm{huff}} - I_{\rm{usj}}) \qquad = \qquad \frac{1}{\sqrt 8}(\frac{1}{2} \ln | x^2 + \sqrt 2 x + 1 | + 2\arctan(\sqrt 2 x + 1) - \frac{1}{2}\ln | x^2 - \sqrt 2 x + 1 | + 2\arctan(\sqrt 2 x - 1)) \qquad [/tex]
Uh... det har nok sneket seg inn et par feil her. Jeg skal gå over det igjen når hjernen min virker igjen
Integrasjonlek
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
huff æsj.. ble deprimert nu får se mer på den imorgen.. god natt boys
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
[tex]I = \int \sin(2\ln x)dx[/tex]
[tex]u^,=1\,\ u=x \ , \ v=\sin(2\ln x) \,\ v^,=\frac2{x}\cos(2\ln x)[/tex]
[tex]I= x\cdot \sin(2\ln x)-\int x\cdot \frac2x\cdot \cos(2\ln x)dx[/tex]
Ny delvis:
[tex]u^,=1\,\ u=x \ , \ v=2\cos(2\ln x) \,\ v^,=-\frac4{x}\sin(2\ln x)[/tex]
[tex]\int 2\cos(2\ln x)dx=x\cdot2\cos(2\ln x) - \int x\cdot -\frac4x\sin(2\ln x)dx[/tex]
[tex]\int \sin(2\ln x)dx = x\cdot \sin(2\ln x) - \left(x\cdot2\cos(2\ln x) + \int 4\sin(2\ln x)dx\right)[/tex]
Flytter over og deler på 5
[tex]\int \sin(2\ln x)dx = \frac15x\sin(2\ln x)-\frac25x\sin(2\ln x)+C[/tex]
[tex]u^,=1\,\ u=x \ , \ v=\sin(2\ln x) \,\ v^,=\frac2{x}\cos(2\ln x)[/tex]
[tex]I= x\cdot \sin(2\ln x)-\int x\cdot \frac2x\cdot \cos(2\ln x)dx[/tex]
Ny delvis:
[tex]u^,=1\,\ u=x \ , \ v=2\cos(2\ln x) \,\ v^,=-\frac4{x}\sin(2\ln x)[/tex]
[tex]\int 2\cos(2\ln x)dx=x\cdot2\cos(2\ln x) - \int x\cdot -\frac4x\sin(2\ln x)dx[/tex]
[tex]\int \sin(2\ln x)dx = x\cdot \sin(2\ln x) - \left(x\cdot2\cos(2\ln x) + \int 4\sin(2\ln x)dx\right)[/tex]
Flytter over og deler på 5
[tex]\int \sin(2\ln x)dx = \frac15x\sin(2\ln x)-\frac25x\sin(2\ln x)+C[/tex]
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Nytt integral: Og god natt fra Chuck
[tex]I = \int \frac{\cos(\frac1{x})}{x^3}\rm{d}x[/tex]
[tex]I = \int \frac{\cos(\frac1{x})}{x^3}\rm{d}x[/tex]
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Trodde ikke Chuck Norris sov, jeg?
[tex]I \qquad = \qquad\int \frac{\cos(\frac{1}{x})}{x^3} \rm{d}x \qquad = \qquad -\int (-\frac{1}{x^2}) (\frac{1}{x}) \cos(\frac{1}{x}) \rm{d}x[/tex]
Vi lar [tex]u = \frac{1}{x}[/tex]
[tex]I \qquad = \qquad -\int u \cos(u) \rm{d}u \quad = \qquad -u\sin(u) -\cos(u) + C \qquad = \qquad -\frac{1}{x}\sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x}) + C[/tex]
Nytt:
[tex]\int \frac{\rm{d}t}{2 \sin(t) + 5 \cos(t)}[/tex]
[tex]I \qquad = \qquad\int \frac{\cos(\frac{1}{x})}{x^3} \rm{d}x \qquad = \qquad -\int (-\frac{1}{x^2}) (\frac{1}{x}) \cos(\frac{1}{x}) \rm{d}x[/tex]
Vi lar [tex]u = \frac{1}{x}[/tex]
[tex]I \qquad = \qquad -\int u \cos(u) \rm{d}u \quad = \qquad -u\sin(u) -\cos(u) + C \qquad = \qquad -\frac{1}{x}\sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x}) + C[/tex]
Nytt:
[tex]\int \frac{\rm{d}t}{2 \sin(t) + 5 \cos(t)}[/tex]
Bra jobba Chuck Norris og daofeishi.
Vel, prøver mæ på siste integralet fra Mr. dao.
[tex]I=\int\frac{\rm dt}{2\sin(t)+5\cos(t)}={1\over sqrt{29}}\int\frac{\rm dt}{\sin(t-\phi)}[/tex]
der [tex]\;\tan(\phi)={5\over 2},\;\;\phi=\arctan({5\over 2})[/tex]
[tex]I={1\over sqrt{29}}\int\frac{\rm dt}{\sin(t-\phi)}[/tex]
og dette integralet har vi løst flere ganger her på forumet:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ght=#35710
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... c&start=15
slik at jeg skriver dette som:
[tex]I={1\over \sqrt{29}}\ln|\frac{1-\cos(t-\phi)}{1+\cos(t-\phi)}|\,+\,C[/tex]
[tex]I={1\over \sqrt{29}}\ln|\frac{1-\cos(t-\arctan({5\over 2}))}{1+\cos(t-\arctan({5\over 2}))}|\,+\,C[/tex]
-----------------------------------------------------------------------------------
Next, denne har vi hatt før. Men den er såpass psyk at den fortjener
oppmerksomhet igjen:
[tex]I=\int \sqrt{\tan(x)}{\rm dx}[/tex]
Vel, prøver mæ på siste integralet fra Mr. dao.
[tex]I=\int\frac{\rm dt}{2\sin(t)+5\cos(t)}={1\over sqrt{29}}\int\frac{\rm dt}{\sin(t-\phi)}[/tex]
der [tex]\;\tan(\phi)={5\over 2},\;\;\phi=\arctan({5\over 2})[/tex]
[tex]I={1\over sqrt{29}}\int\frac{\rm dt}{\sin(t-\phi)}[/tex]
og dette integralet har vi løst flere ganger her på forumet:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ght=#35710
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... c&start=15
slik at jeg skriver dette som:
[tex]I={1\over \sqrt{29}}\ln|\frac{1-\cos(t-\phi)}{1+\cos(t-\phi)}|\,+\,C[/tex]
[tex]I={1\over \sqrt{29}}\ln|\frac{1-\cos(t-\arctan({5\over 2}))}{1+\cos(t-\arctan({5\over 2}))}|\,+\,C[/tex]
-----------------------------------------------------------------------------------
Next, denne har vi hatt før. Men den er såpass psyk at den fortjener
oppmerksomhet igjen:
[tex]I=\int \sqrt{\tan(x)}{\rm dx}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Hepp! Vi prøver som følger:
La [tex]\tan(x) = u^2[/tex]
Da er [tex]x = \arctan(u^2)[/tex] og [tex]\rm{d}x = \frac{2u}{u^4+1} \rm{d}u[/tex]
[tex]I \qquad = \qquad \int \sqrt{\tan(x)} \rm{d}x \qquad = \qquad \int \frac{2u^2}{u^4 + 1} \rm{d}u \qquad = \qquad \int \frac{2u^2}{(u^2+\sqrt 2 u + 1)(u^2 - \sqrt 2 u + 1)} \rm{d} u \qquad = \qquad \frac{1}{\sqrt 2}\int \frac{u}{u^2 - \sqrt 2 u + 1} - \frac{u}{u^2+ \sqrt 2 u + 1} \rm{d}u[/tex]
Vi tar for oss hver av de to siste integralene:
[tex]I_1 \qquad = \qquad \int \frac{u}{u^2 + \sqrt 2 u + 1} \rm{d}u \qquad = \qquad \frac{1}{2}\int \frac{2u + \sqrt 2}{u^2 + \sqrt 2 u + 1} - \frac{\sqrt 2 }{(u + \frac{1}{\sqrt 2})^2+\frac{1}{2}} \rm{d}u \qquad = \qquad \frac{1}{2}\ln | u^2 + \sqrt 2 u + 1| - \arctan(1+ \sqrt 2 u) [/tex]
[tex]I_2 \qquad = \qquad \int \frac{u}{u^2 - \sqrt 2 u + 1} \rm{d}u \qquad = \qquad \frac{1}{2}\int \frac{2u - \sqrt 2}{u^2 - \sqrt 2 u + 1} + \frac{\sqrt 2 }{(u - \frac{1}{\sqrt 2})^2+\frac{1}{2}} \rm{d}u \qquad = \qquad \frac{1}{2}\ln|u^2 - \sqrt 2 u + 1| - \arctan(1- \sqrt 2 u)[/tex]
Dermed:
[tex]I \qquad = \qquad \frac{1}{\sqrt 2} \left( \frac{1}{2}\ln| \frac{u^2 - \sqrt 2 u + 1}{u^2 + \sqrt 2 u + 1}| + \arctan(1+ \sqrt 2 u) - \arctan(1- \sqrt 2 u)\right) + C\\ I = \qquad \frac{1}{2\sqrt 2} \ln| \frac{\tan(x) - \sqrt {2\tan(x)} + 1}{\tan(x) + \sqrt{2\tan(x)} + 1}| + \frac{1}{\sqrt 2} \arctan(1+ \sqrt {2\tan(x)}) - \frac{1}{\sqrt 2}\arctan(1- \sqrt{2\tan(x)}) + C [/tex]
Stemmer dette mon tro?
Nytt integral:
[tex]\int \frac{\cos(x)}{\sin(x) + \sin^{\sqrt 2} (x)} \rm{d}x[/tex]
La [tex]\tan(x) = u^2[/tex]
Da er [tex]x = \arctan(u^2)[/tex] og [tex]\rm{d}x = \frac{2u}{u^4+1} \rm{d}u[/tex]
[tex]I \qquad = \qquad \int \sqrt{\tan(x)} \rm{d}x \qquad = \qquad \int \frac{2u^2}{u^4 + 1} \rm{d}u \qquad = \qquad \int \frac{2u^2}{(u^2+\sqrt 2 u + 1)(u^2 - \sqrt 2 u + 1)} \rm{d} u \qquad = \qquad \frac{1}{\sqrt 2}\int \frac{u}{u^2 - \sqrt 2 u + 1} - \frac{u}{u^2+ \sqrt 2 u + 1} \rm{d}u[/tex]
Vi tar for oss hver av de to siste integralene:
[tex]I_1 \qquad = \qquad \int \frac{u}{u^2 + \sqrt 2 u + 1} \rm{d}u \qquad = \qquad \frac{1}{2}\int \frac{2u + \sqrt 2}{u^2 + \sqrt 2 u + 1} - \frac{\sqrt 2 }{(u + \frac{1}{\sqrt 2})^2+\frac{1}{2}} \rm{d}u \qquad = \qquad \frac{1}{2}\ln | u^2 + \sqrt 2 u + 1| - \arctan(1+ \sqrt 2 u) [/tex]
[tex]I_2 \qquad = \qquad \int \frac{u}{u^2 - \sqrt 2 u + 1} \rm{d}u \qquad = \qquad \frac{1}{2}\int \frac{2u - \sqrt 2}{u^2 - \sqrt 2 u + 1} + \frac{\sqrt 2 }{(u - \frac{1}{\sqrt 2})^2+\frac{1}{2}} \rm{d}u \qquad = \qquad \frac{1}{2}\ln|u^2 - \sqrt 2 u + 1| - \arctan(1- \sqrt 2 u)[/tex]
Dermed:
[tex]I \qquad = \qquad \frac{1}{\sqrt 2} \left( \frac{1}{2}\ln| \frac{u^2 - \sqrt 2 u + 1}{u^2 + \sqrt 2 u + 1}| + \arctan(1+ \sqrt 2 u) - \arctan(1- \sqrt 2 u)\right) + C\\ I = \qquad \frac{1}{2\sqrt 2} \ln| \frac{\tan(x) - \sqrt {2\tan(x)} + 1}{\tan(x) + \sqrt{2\tan(x)} + 1}| + \frac{1}{\sqrt 2} \arctan(1+ \sqrt {2\tan(x)}) - \frac{1}{\sqrt 2}\arctan(1- \sqrt{2\tan(x)}) + C [/tex]
Stemmer dette mon tro?
Nytt integral:
[tex]\int \frac{\cos(x)}{\sin(x) + \sin^{\sqrt 2} (x)} \rm{d}x[/tex]
Det mest opplagte er at vi sitter igjen med dette, men der stopper det:
[tex]I = \int \frac{{\rm d}u}{u + u^{\sqrt{2}}}[/tex]
Ok, etter lite hint fra daofeishi
[tex]I = \int \frac{{\rm d}u}{u (1 + u^k)}[/tex] der [tex]k = \sqrt{2}-1[/tex]
Delbrøk:
[tex]\frac{1}{u(1+u^k)} = \frac{1}{u}-\frac{u^{k-1}}{1+u^k}[/tex]
[tex]I= \ln |u| - J[/tex]
[tex]J = \int \frac{u^{k-1}}{1+u^k} {\rm d}u[/tex]
Og da tenker jeg det løste seg.
[tex]z = 1+u^k[/tex], [tex]z^\prime = ku^{k-1}[/tex]
[tex]J = \frac{1}{k} \int \frac{{\rm d}z}{z} = \ln |z| + C[/tex]
[tex]I = \ln |u| - \ln |v| + C = \ln |\sin(x)| - \ln |1+\sin^{\sqrt{2}-1}(x)| + C[/tex]
Satser på det funka Hvis det stemmer så kommer nytt integral. Senere.
[tex]I = \int \frac{{\rm d}u}{u + u^{\sqrt{2}}}[/tex]
Ok, etter lite hint fra daofeishi
[tex]I = \int \frac{{\rm d}u}{u (1 + u^k)}[/tex] der [tex]k = \sqrt{2}-1[/tex]
Delbrøk:
[tex]\frac{1}{u(1+u^k)} = \frac{1}{u}-\frac{u^{k-1}}{1+u^k}[/tex]
[tex]I= \ln |u| - J[/tex]
[tex]J = \int \frac{u^{k-1}}{1+u^k} {\rm d}u[/tex]
Og da tenker jeg det løste seg.
[tex]z = 1+u^k[/tex], [tex]z^\prime = ku^{k-1}[/tex]
[tex]J = \frac{1}{k} \int \frac{{\rm d}z}{z} = \ln |z| + C[/tex]
[tex]I = \ln |u| - \ln |v| + C = \ln |\sin(x)| - \ln |1+\sin^{\sqrt{2}-1}(x)| + C[/tex]
Satser på det funka Hvis det stemmer så kommer nytt integral. Senere.
Finfint Eirik. Jeg er ganske enig med deg - men jeg tror det mangler en liten konstant:
[tex]I \qquad = \qquad \ln | \sin(x) | - \frac{1}{sqrt 2 - 1} \ln | \sin^{\sqrt 2 - 1}(x) +1 | +C[/tex]
Delbrøkoppspaltninga kan du ta ved inspeksjon - skriv:
[tex]Ax + B(x^{\sqrt 2 -1} + 1) = 1[/tex]
og finn passende A og B.
Og se og få på plass et nytt integral
[tex]I \qquad = \qquad \ln | \sin(x) | - \frac{1}{sqrt 2 - 1} \ln | \sin^{\sqrt 2 - 1}(x) +1 | +C[/tex]
Delbrøkoppspaltninga kan du ta ved inspeksjon - skriv:
[tex]Ax + B(x^{\sqrt 2 -1} + 1) = 1[/tex]
og finn passende A og B.
Og se og få på plass et nytt integral
Sist redigert av daofeishi den 22/08-2007 19:33, redigert 1 gang totalt.
Okei. [tex]\frac{1}{x + x^{\sqrt 2}} = \frac{1}{x(x^{\sqrt 2 -1}+1)}[/tex]
Så prøver vi ved inspeksjon:
[tex]Ax + B(x^{{\sqrt 2 -1}}+1) = 1[/tex]
Vi lar [tex]A = -x^{\sqrt 2 -2}[/tex] og [tex]B=1[/tex] - siden vi ser at det vil gi et korrekt uttrykk.
Dermed:
[tex]\frac{1}{x + x^{\sqrt 2}} = \frac{1}{x} - \frac{x^{\sqrt 2 -2}}{x^{\sqrt 2 -1} +1}[/tex]
Så prøver vi ved inspeksjon:
[tex]Ax + B(x^{{\sqrt 2 -1}}+1) = 1[/tex]
Vi lar [tex]A = -x^{\sqrt 2 -2}[/tex] og [tex]B=1[/tex] - siden vi ser at det vil gi et korrekt uttrykk.
Dermed:
[tex]\frac{1}{x + x^{\sqrt 2}} = \frac{1}{x} - \frac{x^{\sqrt 2 -2}}{x^{\sqrt 2 -1} +1}[/tex]
Sist redigert av daofeishi den 22/08-2007 20:32, redigert 1 gang totalt.