matematikk.net

espen180 skrev: d)
[tex]\sum_{k=1}^n\left(\sum_{m=1}^km\right)[/tex]
Er ikke sikker på om dette uttrykket teller.

[tex]\sum_{k=1}^{14}\left(\sum_{m=1}^k m\right) =1+3+6+10+15+21+28+36+45+55+66+78+91+105=560[/tex]

Noen feil?

Uttrykket ditt gir jo forsåvidt riktig svar, men tviler på at du hadde fått så mange poeng for det når det finnes mye 'bedre' uttrykk. Jeg tror svaret de ville frem til var [tex]\frac{n(n+1)(n+2)}6[/tex].

Slang sammen dette i en fart, med forbehold om slurvefeil

Edit: La merke til en slurvefeil under d, svarene blir

[tex]v(\pi/4)=[sqrt 2, sqrt 2, -2][/tex]
[tex]a(\pi/4)=[-sqrt 2, -sqrt 2, -2][/tex]

espen180 skrev:4 II
a)
Dette er en aritmetisk rekke med fast "aksellerasjon".(?) Denne rekka representerer en trekant, som avbildet på figuren, med [tex]n[/tex] lag med prikker.
b)
[tex]a_n=1+(n-1)(1+0.5n)[/tex]

formelen din over funker. Forøvrig er trekanttall n lik summen av de n første heltall. og dette kan også skrives:
[tex]a_n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

c)
[tex]1+3+6+10+15+21+28+36+45+55=220[/tex]
d)
[tex]\sum_{k=1}^n\left(\sum_{m=1}^km\right)[/tex]
Er ikke sikker på om dette uttrykket teller.
[tex]\sum_{k=1}^{14}\left(\sum_{m=1}^k m\right) =1+3+6+10+15+21+28+36+45+55+66+78+91+105=560[/tex]
Noen feil?

ser grei ut, men summen av de n føste trekant tall kan skrives
[tex]S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex]
som nevnt over.

Forøvrig likner denne summen, S_n, på summen av de n første kvadrattall. Der er en relasjon (noe oppgava ikke etterspør):
[tex]1^2+2^2+3^2\,+...\,+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

Mari89 skrev:
Slang sammen dette i en fart, med forbehold om slurvefeil
Edit: La merke til en slurvefeil under d, svarene blir
[tex]v(\pi/4)=[sqrt 2, sqrt 2, -2][/tex]
[tex]a(\pi/4)=[-sqrt 2, -sqrt 2, -2][/tex]

etter det jeg kan se er alle riktige, bra.
ang f)
tangenten til kurva i skjæringspunktet mellom kurva og xy-planet
er || med z-aksen. Derfor er vinkelen [symbol:pi] /2.

Janhaa skrev:

espen180 skrev:4 II
a)
Dette er en aritmetisk rekke med fast "aksellerasjon".(?) Denne rekka representerer en trekant, som avbildet på figuren, med [tex]n[/tex] lag med prikker.
b)
[tex]a_n=1+(n-1)(1+0.5n)[/tex]

formelen din over funker. Forøvrig er trekanttall n lik summen av de n første heltall. og dette kan også skrives:
[tex]a_n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

c)
[tex]1+3+6+10+15+21+28+36+45+55=220[/tex]
d)
[tex]\sum_{k=1}^n\left(\sum_{m=1}^km\right)[/tex]
Er ikke sikker på om dette uttrykket teller.
[tex]\sum_{k=1}^{14}\left(\sum_{m=1}^k m\right) =1+3+6+10+15+21+28+36+45+55+66+78+91+105=560[/tex]
Noen feil?

ser grei ut, men summen av de n føste trekant tall kan skrives
[tex]S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex]
som nevnt over.

Forøvrig likner denne summen, S_n, på summen av de n første kvadrattall. Der er en relasjon (noe ikke oppgava etterspør):
[tex]1^2+2^2+3^2\,+...\,+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

Skjønner. Uten kjennskap til disse formlene ble jeg nødt til å lage noen på rappen, derfor ble det litt rotete.

Jeg prøver meg på denne oppgaven, men jeg har ikke 3mx selv. Jeg vet ikke om noen har svart på den allerede, og sjekker heller ikke før jeg har løst den. - Jeg vil bare se om jeg klarer den, hehe



1)


[tex]E(X) = 1\cdot \frac 26 + 2\cdot \frac 36 + 4\cdot \frac 16 \Rightarrow \frac{2+6+4}{6} = \frac{12}{6} = \underline{\underline{2}}[/tex]

2)
[tex]SD(X) = \sqrt{Var(X)} \Rightarrow \sqrt{(1-2)^2 \cdot \frac 26 + (2-4)^2 \cdot \frac 16} = \sqrt{\frac {2+4}{6}} = \sqrt{1} = \underline{\underline{1}}[/tex]

MatteNoob skrev:Jeg prøver meg på denne oppgaven, men jeg har ikke 3mx selv. Jeg vet ikke om noen har svart på den allerede, og sjekker heller ikke før jeg har løst den. - Jeg vil bare se om jeg klarer den, hehe

1)

[tex]E(X) = 1\cdot \frac 26 + 2\cdot \frac 36 + 4\cdot \frac 16 \Rightarrow \frac{2+6+4}{6} = \frac{12}{6} = \underline{\underline{2}}[/tex]
2)
[tex]SD(X) = \sqrt{Var(X)} \Rightarrow \sqrt{(1-2)^2 \cdot \frac 26 + (2-4)^2 \cdot \frac 16} = \sqrt{\frac {2+4}{6}} = \sqrt{1} = \underline{\underline{1}}[/tex]

korrekt...mr MN

@ Janhaa:

Artig at jeg fikk den til, så artig at jeg forsøker meg på oppgave 3 også. Kan noen sjekke over denne også?



b)
[tex]{{20} \choose {16}} \cdot (0.90)^{16} \cdot (1-0.90)^{20-16} \Rightarrow 4845 \cdot (0.90)^{16} \cdot (0.10)^4 \approx \underline{\underline{0.0898}}[/tex]

Dette er en binomisk sannsynlighetsfordeling. Disse forutsetningene ligger til grunn:

1. Det er to utfall; pasienten lever eller pasienten dør.
2. I hendelsen antas lik "overlevelses/døds"-sannsynlighet for hver enkelt pasient (mindre sannsynlig pga individuelle helsebetingelser hos pasientene). Disse sannsynlighetene er henholdsvis 0.9 og komplementært 0.1
3. Vi skal velge 16 overlevende fra et utvalg på 20, og da vi ikke vet hvilke pasienter som er "heldige", bruker vi binomialkoeffesienten.

b.1)
[tex]X_1 = \text{En person overlever} \\ n = 200[/tex]

[tex]E(X_1) = 1 \cdot \frac {9}{10} = \underline{\frac{9}{10}}[/tex]

[tex]\mu = Var(X) = n \cdot E(X_1) \Rightarrow 200 \cdot E(X_1) = 200 \cdot \frac{9}{10}= \underline{\underline{180}}[/tex]

b.2)
Her sliter jeg, kan noen komme med innspill?
[tex]SD(X_1) = \sqrt{Var(X_1)} \Rightarrow \sqrt{(1-\frac{9}{10})^2 \cdot \frac{9}{10}} =\underline{ \sqrt{\frac{9}{1000}[/tex]

[tex]\sigma = SD(X) = SD(X_1) \cdot \sqrt{n} \Rightarrow \sqrt{\frac{9}{1000}} \cdot \sqrt{200} \not \approx 4.24[/tex]

Derimot, blir

[tex]\sqrt{\frac{9}{10\, 000}} \cdot \sqrt{200} \approx \underline{\underline{4.24}}[/tex]

Hvorfor må nevneren være 10 000? Hva overser jeg?

c)

[tex]P(0<X<168) = 1- \left(\int_{168}^{200} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right) \,\,\, Der \, \mu = 180\, og \, \sigma \approx 4.24[/tex]

Denne integranden har ingen antiderivert, derfor bruker jeg lommeregneren for å finne sannsynligheten:

"Stat", "Dist", "Norm", "Ncd"

[tex]\text{Verdier: }\{ \text{Lower: 168\\Upper: 200\\\mu: 180\\\sigma: 4.24} \,\,\,\,\,\,\,\, = \underline{0.99767}[/tex]

[tex]P(0<X<168) = 1- 0.99767 = \underline{\underline{0.00233}}[/tex]

d)

Samme kalkulatorfunksjon som ovenfor, denne gangen med følgende verdier:

[tex]Verdier: \{\text{Lower: 168\\Upper: 186\\\mu: 180\\\sigma: 4.24} \,\,\,\,\,\,\,\, = \underline{\underline{0.91915}}[/tex]

Jeg kan ikke nok om disse tingene til å gjøre e og f.

2c)
[tex]f(x)=Asin(cx+\varphi)+d[/tex]

Ser av grafen at [tex]\varphi=\frac{\pi}{2}[/tex] (Holder det å si det, eller bør man utdype det litt mer?)
Likevektslinja, amplituden og perioden ble funnet i oppgave 2b og settes inn.

[tex]f(x)=0,5sin(2x+\frac{\pi}{2})+0,5[/tex]

d)
[tex]f(x)=0,5sin(2x+\frac{\pi}{2})+0,5=0,5(sin (2x) cos(\frac{\pi}{2})+cos (2x) sin(\frac{\pi}{2}))+0,5[/tex]
[tex]f(x)=0,5 \cdot 0+0,5cos(2x) \cdot 1+0,5=0,5cos(2x)+0,5=0,5(2cos^2x-1)+0,5=cos^2x-0,5+0,5=cos^2x[/tex]

MatteNoob skrev:b.2)
Her sliter jeg, kan noen komme med innspill?
[tex]SD(X_1) = \sqrt{Var(X_1)} \Rightarrow \sqrt{(1-\frac{9}{10})^2 \cdot \frac{9}{10}} =\underline{ \sqrt{\frac{9}{1000}[/tex]

[tex]\sigma = SD(X) = SD(X_1) \cdot \sqrt{n} \Rightarrow \sqrt{\frac{9}{1000}} \cdot \sqrt{200} \not \approx 4.24[/tex]

Derimot, blir

[tex]\sqrt{\frac{9}{10\, 000}} \cdot \sqrt{200} \approx \underline{\underline{4.24}}[/tex]

Hvorfor må nevneren være 10 000? Hva overser jeg?

Har du en binomisk forsøksrekke som dette med n forsøk og sjansen i hvert forsøk er p blir variansen [tex]np(1-p)[/tex], og standardavviket blir selvfølgelig kvadratroten av variansen. Jeg er ikke helt sikker på hvordan du gikk fram for å finne standardavviket, beklager, men denne måten ser ut til å gi svaret de har kommet fram til.

Jeg vil prøve meg på oppgave 5. Jeg får kanskje feil, men det er gøy å prøve.

5

a)
[tex]\vec{r}(0)=[2sin(0),2sin(0),\sqrt{8}cos(0)]=[0,0,\sqrt{8}] \\ \vec{r}\left(\frac{\pi}{4}\right)=[2sin(\frac{\pi}{4}),2sin(\frac{\pi}{4}),\sqrt{8}cos(\frac{\pi}{4})]=[2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}]=[\sqrt{2},\sqrt{2},2][/tex]

b) Her er jeg ikke sikker på hva de spør etter. Er det punktene der z=0? I så fall:
[tex]\sqrt{8}cos(t)=0 \\ t=\frac{\pi}{2} \vee \frac{3\pi}{4}[/tex]

c), d), e) og f) Vet ikke hvordan jeg skal gå fram for å løse disse. Noen tips?

Hele oppgave 5 ligger over, men ikke se om du ikke vil ha hele løsningene på alt og heller vil tenke litt selv.

På b må du sette inn de t-verdiene du fikk inn i funksjonuttrykket for å finne punktene. t blir pi/2 og 3pi/2 (ikke 3pi/4) det ser du nok om du tenker deg kjapt om

MatteNoob skrev:@ Janhaa:
Artig at jeg fikk den til, så artig at jeg forsøker meg på oppgave 3 også. Kan noen sjekke over denne også?
c)
[tex]P(0<X<168) = 1- \left(\int_{168}^{200} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right) \,\,\, Der \, \mu = 180\, og \, \sigma \approx 4.24[/tex]
Denne integranden har ingen antiderivert, derfor bruker jeg lommeregneren for å finne sannsynligheten:
"Stat", "Dist", "Norm", "Ncd"
[tex]\text{Verdier: }\{ \text{Lower: 168\\Upper: 200\\\mu: 180\\\sigma: 4.24} \,\,\,\,\,\,\,\, = \underline{0.99767}[/tex]
[tex]P(0<X<168) = 1- 0.99767 = \underline{\underline{0.00233}}[/tex]

http://no.wikipedia.org/wiki/Normalfordeling

titt på linken, dette kan skrives som:
[tex]P(X<168)=\Phi({\frac{168-180}{4.24})=\Phi(-2.83)[/tex]

Så bruker vi tabell over den kumulative normalfordelinga

[tex]P(X<168)=\Phi(-2.83)=1\,-\,\Phi(2.83)=0,0023[/tex]

d)
Samme kalkulatorfunksjon som ovenfor, denne gangen med følgende verdier:
[tex]Verdier: \{\text{Lower: 168\\Upper: 186\\\mu: 180\\\sigma: 4.24} \,\,\,\,\,\,\,\, = \underline{\underline{0.91915}}[/tex]
Jeg kan ikke nok om disse tingene til å gjøre e og f.

samma her:
[tex]P(168<X<186)=\Phi({\frac{186-180}{4.24})\,-\,\Phi(\frac{168-180}{4.24})=\Phi(1.42)\,-\,\Phi(-2.83)=0,921[/tex]

e)

[tex]\hat p=\frac{63}{90}=0,7[/tex]

[tex]1-\hat p=0,3[/tex]

[tex]SE=S_{\hat p}=\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=0,048[/tex]

der SE er standard error

f)
Et 95% konfidensintervallet, KI, kan skrives:

[tex]<\hat p\,\pm\,Z\cdot S_{\hat p}>[/tex]

[tex]\Phi(Z)=\frac{0,95+1}{2}=0,975[/tex]
tabellen gir da Z = 1,96 (for 0,95 konfidensnivå)

[tex]KI_{0,95}:\,\,\,<0,7\,\pm\,1,96\cdot 0,048>\,=\,<0.61,\,0.80>[/tex]

legg merke til at [tex]\,\, \hat p\,\,[/tex]er middelverdien i KI.

KI er bare 19% bredt, og p=0,90 er utafor KI, hvilket impliserer at den er svært usikker.
p > [tex]\,\,\hat p[/tex]

Edit: Tekst fjernet

Kom opp i matte jeg og. 3MX eksamen i vår var etter min mening ikke god, da oppgavene var litt for rett frem. Det var etter min mening få oppgaver der man virkelig får frem den matematiske forståelsen. Slike oppgaver er jo ikke lette å lage, men jeg syntes de har fått det til bedre enn i år. Det var i hvertfall den følelsen jeg satt igjen med etter eksamen.
Da er det bare fysikk muntlig igjen på mandag så er vitnemålet i boks:) Blir godt å begynne på høyere utdanning, etter et friår med reising, klatring og kiting