Trigonometri 3MX, jeg løser.

[MatteNoob]

Finn eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens til:

a) [tex]210\textdegree[/tex]

b) [tex]225\textdegree[/tex]

c) [tex]240\textdegree[/tex]

d) [tex]300\textdegree[/tex]

e) [tex]330\textdegree[/tex]

a)
[tex]sin(210\textdegree) = sin(330\textdegree) = -sin(30\textdegree) = - \frac 12[/tex]

cos

tordner her, kommer tilbake senere.

[espen180]

258
a)
[tex]sin(x+60)=sin(x)cos(60)+cos(x)sin(60) \\ cos(60)=\frac12 \\ sin(60)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ sin(x+60)=\frac12sin(x)+\frac{\sqrt{3}}{2}cos(x)[/tex]

b)
[tex]\frac12sin(x)+\frac{\sqrt{3}}{2}cos(x)=\frac12 \, , \, x\in[0,360> \\ sin(x+60)=\frac12 \\ sin(30)=\frac12 \, \wedge \, sin(150)=\frac12 \\ x=-30\, \vee \, x=90[/tex]

259
a)
[tex]sin \, 2v\, =sin\,v+2\,=sin\,v \,cos \,v \,+cos\,v\,sin\,v\,=sin\,v\,cos\,v\,+sin\,v\,cos\,v\,=2sin\,v\,cos\,v\,[/tex]

b)
[tex]cos\,2v\,=cos\,v\,cos\,v\,-sin\,v\,sin\,v\,=cos^2v-sin^2v[/tex]

c)
[tex]tan\,2v\,=\frac{sin\,2v}{cos\,2v}=\frac{2sin\,v\,cos\,v\,}{cos^2v-sin^2v} \\ cos^2v-sin^2v=(cos\,v\,+sin\,v)(cos\,v\,-sin\,v)[/tex]
Kan jeg få et hint om hva jeg bør gjøre her?

260
[tex]sin(u+v)=sin\,u\,cos\,v\,+sin\,v\,cos\,u\,=\frac14cos\,v\,+\frac13cos\,u \\ cos(v)=\frac{2\sqrt{2}}{3} \\ cos(u)=\frac{\sqrt{15}}{4} \\ \frac14\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac13\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{15}}{12}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{15}}{6}[/tex]

[tex]sin(u-v)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{15}}{6}[/tex]

[tex]sin(v-u)=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{2}}{6}[/tex]

261
a)
[tex]sin \, 3v\,=sin\,2v\,cos\,v\,+sin\,v\,cos\,2v=2sin\,v\,cos^2v\,+sin\,v\,(cos^2v-sin^2v) \\ 2sin\,v\,cos^2v+sin\,v\,cos^2v-sin^3v=3sin\,v\,cos^2v-sin^3v[/tex]
Kan noen gi meg et hint om hva jeg må gjøre nå?

b)
[tex]cos\,3v=cos\,v\,cos\,2v\,-sin\,v\,sin\,2v=cos\,v\,(cos^2v-sin^2v)-sin\,v\,(2sin\,v\,cos\,v) \\ cos^3v-sin^2v\,cos\,v-2sin^2v\,cos\,v=cos^3v-3sin^2v\,cos\,v[/tex]
Kan noen gi meg et hint om hva jeg må gjøre nå?

[TrulsBR]

I begge tilfellene holder det vel å huske på at [tex]\sin^2 x + \cos^2 x = 1[/tex].

[Knuta]

Finn eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens til:

a) [tex]210\textdegree[/tex]

b) [tex]225\textdegree[/tex]

c) [tex]240\textdegree[/tex]

d) [tex]300\textdegree[/tex]

e) [tex]330\textdegree[/tex]

a)
[tex]sin(210\textdegree) = sin(330\textdegree) = -sin(30\textdegree) = - \frac 12[/tex]

cos

tordner her, kommer tilbake senere.

Knuta's oppgave:

[tex]sin(15\textdegree) = [/tex]

[zell]

[tex]15^{\circ} = \frac{15}{180}\pi = \frac{\pi}{12}[/tex]

[tex]\theta = \frac{\pi}{6}[/tex]

[tex]\sin{(\frac{\theta}{2})} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos{\theta}}{2}}[/tex]

[tex]\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex]\sin{\frac{\pi}{12}} = \pm\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}[/tex]

[tex]\sin{\frac{\pi}{12}} = \pm\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \pm\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex]

[MatteNoob]

Dette har ingenting med oppgavene ovenfor å gjøre. Jeg har ikke tittet på dem enda, for målet er å kunne løse slike når jeg er ferdig med dette kapittelet. :]

Bestem den eksakte verdien til sin x når:

a) [tex]cos x = -\frac{\sqrt 2}{2} \,\,\, 90\textdegree\, <\, x \, <\, 180\textdegree[/tex]

b) [tex]cos x = \frac 14 \,\,\, 270\textdegree\, <\, x \, <\, 360\textdegree[/tex]

c) [tex]cos x = -\frac{12}{13} \,\,\, 180\textdegree\, <\, x \, <\, 270\textdegree[/tex]

a)
[tex]cos x = -\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]

Vi bruker identiteten som er:
[tex]cos^2 x + sin^2 x = 1 \\ \, \\ \Updownarrow \\ \, \\ sin^2 x = 1-cos^2 x[/tex]

Dermed har vi:

[tex]sin^2x = 1- \left(-\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2 \\ \, \\ sin^2 x = 1- \frac 12 \\ \, \\ sin x = \sqrt{\frac 12} \\ \, \\ sin x = \frac{1 \cdot \sqrt 2}{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2} = \underline{\underline{\frac{\sqrt 2}{2}}}[/tex]

b)
[tex]cos x=\frac 14 \\ \, \\ sin^2x = 1-(\frac 14)^2 \\ \, \\ sin^2 x = \frac {15}{16} \\ \, \\ sin x = \sqrt{\frac{15}{16}} \\ \, \\ sin x = \frac{\sqrt{15}}{4} = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{15}}{4}}}\text{ sin x<0 i 4 kvadrant}[/tex]

c)
[tex]cos x = -\frac{12}{13} \\ \, \\ sin^2 x = 1-\left(-\frac{12}{13}\right)^2 \\ \, \\ sin^2 x = 1-\frac{144}{169} \\ \, \\ sin x = \sqrt{\frac{25}{169} }= \frac{5}{13} = \underline{\underline{-\frac{5}{13}}} \text{ sin x<0 i 3 kvadrant} [/tex]

[MatteNoob]

Løs likningene når x er en vinkel i første omløp.

a) [tex]sin^2 x - cos x = 0[/tex]

b) [tex]cos^2 x - 2 sin^2 x + 1 = 0[/tex]

a)
[tex]sin^2 x - cos x = 0 \\ \, \\ \text{Vi vil fjerne en av de to trig. funksjonene, slik at vi bare har en a \\ forholde oss til. Vi bruker en identitet og setter inn for sin^2x} \\ \, \\ 1-cos^2x - cos x = 0 \\ \, \\ -u^2 - u +1 = 0 \\ \, \\ \, \\ u_1 \approx -1.618 \,\,\, \vee \,\,\, u_2 = 0.618 \\ \, \\ \, \\ \text{Vi forkaster u_1, da -1 \leq x \leq 1} \\ \, \\ cos^{-1}0.618 \approx 51.8\textdegree \\ \, \\ \text{Betrakter enhetssirkelen og finner at:} \\ \, \\ 360\textdegree - 52.8\textdegree = 308.2\textdegree \\ \, \\ \, \\ \underline{\underline{L = \{52.8\textdegree , \, 308.2\textdegree\} }}[/tex]

b) (Takk, Zell)
[tex]cos^2 x - 2 sin^2 x + 1 = 0 \\ \, \\ 1-sin^2x - 2sin^2x +1 = 0 \\ \, \\ -3 sin^2x = -2 \\ \, \\ sinx = \pm \sqrt{\frac 23} = \pm \frac{\sqrt 2 \cdot \sqrt 3}{3} = \frac{\sqrt 6}{3} \\ \, \\ \, \\ x \approx 54.7\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, x_2 \approx -54.7\textdegree \\ \, \\ x_2 = 360\textdegree-|x_2| = 305.3\textdegree \\ \, \\ L = \{54.7\textdegree ,\, 125.3\textdegree , \, 305.3\textdegree ,\, 234.7\textdegree\} [/tex]

[MatteNoob]

a) Finn eksakt verdi for [tex]cos2v[/tex] når [tex]cosv = \frac 34[/tex]

b) Finn eksakt verdi for [tex]cos v[/tex] når [tex]cos 2v = \frac 15[/tex] og v er en vinkel i første kvadrant.

c) Finn en eksakt verdi for [tex]cos v[/tex] når [tex]cos2v = \frac{\sqrt 2}{2}[/tex] og v er en vinkel i første kvadrant. Hvilken vinkel har du nå funnet cosinusverdi for?

a)
Vi vil finne eksakt verdi for cos2v, og vi vet at:
[tex]cos(u\pm v) = cosu\cdot cosv \mp sinu\cdot sin v[/tex]

I [tex]cos(2v) [/tex] derimot, har vi 2 vinkler v, dermed får vi:
[tex]cos(v+v) = cosv\cdot cosv - sin v \cdot sin v = \underline{cos^2v - sin^2v}[/tex]

Vi kjenner også identiteten:
[tex]cos^2v + sin^2v = 1[/tex]

Vi kan dermed få cosinus alene i uttrykket jeg har understreket ovenfor.
[tex]cos^2v - \left(1-cos^2v\right) \Rightarrow \underline{2cos^2v -1}[/tex]

Setter inn og løser:
[tex]2\cdot \left(\frac 34\right)^2 - 1 \Rightarrow \frac{18}{16} - \frac{16}{16} \Rightarrow \underline{\underline{\frac 18}}[/tex]

b)
Denne gangen vet vi hva cos(2v) er, derfor blir prosessen "motsatt".

Vi vet at:
[tex]cos(2v) = 2cos^2v-1[/tex]

Dermed er:
[tex]2cos^2v -1 = \frac 15 \\ \, \\ 2cos^2v = \frac 65 \\ \, \\ cosv = \sqrt{\frac{\frac{6}{5}}{2}} = \underline{\underline{\sqrt{\frac{3}{5}}}} [/tex]

c)
[tex]2cos^2v -1 = \frac{\sqrt 2}{2} \\ \, \\ 2cos^2v = \frac{\sqrt 2+2}{2} \\ \, \\ cos^2v = \frac{\sqrt 2 + 2}{4} \\ \, \\ cosv = \sqrt{\frac{\sqrt 2 + 2}{4}} = \underline{\underline{\frac{\sqrt{\sqrt 2 + 2}}{2}}}[/tex]

Kan jeg gjøre uttrykket "penere" på noen måte? Er ikke så fornøyd med rot over rot.

Her har vi den eksakte verdien til [tex]22.5\textdegree[/tex]

[Charlatan]

En metode du kan bruke for å se om 'rot over rot' kan se finere ut er å prøve å se om du kan finne heltallige løsninger for a og b [tex](a+b\sqrt{2})^2=2+\sqrt{2}[/tex]

Generelt kan du sjekke dette med [tex](a+b\sqrt{n})^k=(A+B\sqrt{n})[/tex] hvor du kjenner [tex]A,B,n[/tex] og [tex]k[/tex]

Videre kan du generalisere med

[tex](a_0+\sum^r_{i=1}a_i \ \times \ \sqrt{n_i})^k=(A_0+\sum^r_{i=1}A_i \ \times \sqrt{n_i})[/tex]

Hvor du kjenner [tex]A_i, n_i, p_i[/tex], og [tex]k[/tex]

Husk: Hvis du har at [tex]a+ab\sqrt{2}=2+4\sqrt{2}[/tex], og du vet at a, og b er heltall (eventuelt rasjonale), kan du sette likhet mellom tilsvarende lett, dvs [tex]a=2, \ ab=4[/tex]

[MatteNoob]

Takk for kjempegodt svar, Jarle10. Dette vil jeg øve litt på. :]

[Charlatan]

Hvis du vil ha en oppgave kan du prøve deg på dette:

[tex]S=6+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}[/tex]

Forenkle [tex]\sqrt{S}[/tex] slik at det kan skrives som sum av kvadratuttrykk med rasjonale koeffisienter.

Jeg mener at det skal være mulig å løse for enhver slik oppgave hvor det eksisterer en løsning for k<5, men jeg har ikke bevis ennå.