Trigo- sinjakt!

[Wentworth]

Når du nevner ordet sexy tenker jeg på Mari

[MatteNoob]

Wentworth:

Jeg vil at du skal finne et eksakt uttrykk for [tex]cos 75\textdegree[/tex]

dette er en utfordring.

[Knuta]

[tex] \sin(1.5\textdegree) = \frac{\sqrt{8-\sqrt{32+\sqrt{240}+\sqrt{48}+\sqrt{160-\sqrt{5120}}}}}{4} [/tex]

[tex] \sin(3\textdegree) = \frac{\sqrt{8-\sqrt{15}-\sqrt{3}-\sqrt{10-\sqrt{20}}}}{4} [/tex]

[tex] \sin(4.5\textdegree) = \frac{\sqrt{8-\sqrt{32+\sqrt{640+\sqrt{81920}}}}}{4} [/tex]

[tex] \sin(6\textdegree) = \frac{\sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt{5}-1}{8} [/tex]

[tex] \sin(7.5\textdegree) = \frac{\sqrt{8-\sqrt{24}-\sqrt{8}}}{4} [/tex]

[tex] \sin(9\textdegree) = \frac{\sqrt{8-\sqrt{40+\sqrt{320}}}}{4} [/tex]


cos 75 = sin 15

[tex] \sin(15 \textdegree) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex]

[Knuta]

Følgende formler brukte jeg da jeg snekret tabellen ovenfor, som forøvrig er bare et lite utdrag.

[tex]\sin^2 u +\cos^2v=1[/tex]

[tex]\cos(u\pm v)=\cos u \cdot \cos v \mp sin u \cdot sin v[/tex]

[tex]sin(u \pm v) = \sin u \cdot \cos v \pm \cos u \cdot \sin v [/tex]

[tex] cos^2 (\frac u2) = \frac{1+\cos u}{2} [/tex]

[tex] sin^2 (\frac u2) = \frac{1-\cos u}{2} [/tex]

[Charlatan]

Knuta, kan du ved konstruksjon vise/bevise hva de trigonometriske verdiene til 36, 72 og 108 er?

[Knuta]

[tex] \sin(36\textdegree) = \frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}}{4} [/tex]

[tex] \sin(72\textdegree) = \frac{\sqrt{10+\sqrt{20}}}{4} [/tex]

men jeg kan ikke bevise noe. Kanskje hvis jeg strever litt mer.

[Knuta]

Nå har jeg bare konstruert en 72 graders vinkel. Å kunne bevise eksaktverdien er vel en enkel prosedyre?

1. Konstuer en sirkel med radius 1. Punkt A er origo, Punkt B ligger på sirkelen.
2. Trekk en linje igjennom A og B
3. Finn midtpunktet C mellom A og B.
4. Konstuer en normal på linjen igjennom A. Der normalen krysser sirkelen ligger punkt D
5. Trekk en bue med senter i C, fra D til den opprinnelige linjen. Kall punktet E
6. Trekk en ny bue med senter i D, fra E til sirkelen. Dette punktet kalles F

Vinkelen DAF skal være 72 grader.

[Charlatan]

Ser riktig ut ifølge Geogebra, fin løsning.

Har du beviset for at det er 72 grader ?

[Knuta]

Det er den enleste metoden for å dele opp en sirkel i fem deler.
Den skal være matematisk riktig. Å bevise det er en annen sak.
Det er vel like vanskelig/enkelt å bevise en vinkel på 60 grader.

[Knuta]

Forøvrig hvis vi setter radius til 1. Da er

[tex]AB = AD = AF = 1[/tex]
[tex]AC = \frac 12[/tex]
[tex]CD = CE = \sqrt{AC^2+AD^2} = \sqrt{(\frac 12)^2+1^2}=\frac{\sqrt 5}{2}[/tex]
[tex]AE = CE - AC = \frac{\sqrt 5}{2} -\frac 12 [/tex]
[tex]DE = DF = sqrt{AE^2+AD^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt 5}{2} -\frac 12)^2+1^2} = \frac{\sqrt{10 - \sqrt {20}}}{ 4}[/tex]

nå har vi en likebenet trekant ADF der AF=AD. Hvis vi bruker cosinussetningen:

[tex]c^2=a^2+b^2-2ab\ \cos\ C [/tex]

[tex]\sqrt{ 1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot Cos 72} = \frac{\sqrt{10 - \sqrt {20}}}{ 4}[/tex]

Å bevise dette blir noe annet. Uansett hvordan jeg snur og vender på det blir resultatet det samme.

[Charlatan]

Hvis du antar at konstruksjonen er riktig, kan det over brukes til å bevise verdien til cos72.

Å "bevise en vinkel på 60 grader" (dvs å bevise at en konstruksjon av en slik er riktig) er mye enklere. Du lager en sirkel i et punkt på en linje med radius r. Deretter setter du passerspissen der sirkelen treffer linja, og lager en sirkel her. Punktet sirklene møtes merkes av, og nå har du følgelig en likesidet trekant med sidelengder r. Her må nødvendigvis vinklene være like, så dermed er vinkeln du har konstruert 60 grader.

[Charlatan]

Er du kjent med Ptolemy's teorem?

I så fall: Prøv å bevise hva [tex]\sin72[/tex] er ved å bruke et regulært polygon innskrevet i en sirkel, hvor fire av vertisene (A,B,C,D) er hjørner i en syklisk firkant. Bruk Ptolemys teorem med utgangspunkt i denne firkanten.

Hint: For å finne de verdiene for diagonalene og sidene av firkanten bruker du trigonometri.

PS: [tex]\sin72, \ \sin36, \ \sin108[/tex] og de tilhørende cosinusverdiene kan lett bli funnet hvis du vet én av dem.

Når du har bevist hva cos72, kan du bruke dette i konstruksjonen din til å bevise at det faktisk er en vinkel på 72 grader, (og dermed en gyldig konstruksjonmodell for et regulært pentagon)