matematikk.net

Hehe, det var helt sikkert en spøk. Han læreren pleier alltid å klistre inn en tegneseriestripe på prøvene, og her har han altså sagt at det er en oppgave. Hehe. Hørte at samtlige i klassen kom med et eller annet svar på den.

Lærerens løsningsforslag (vi hadde prøven på fredag og fikk karakteren tilbake lørdags morgen. haha. er det rart jeg liker ham?)
Løsningsforslaget er litt rotete da, siden det egentlig bare er en kort oppsummering, men dere skjønner forhåpentligvis essensen. så håper jeg at jeg får det riktig, for han skriver som en gris, så jeg kan lese av feil her og der.
__________________________________________________

Oppgave 1
a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (ti første primtallene)
[tex]\sqrt{281}=16,7[/tex] - inneholder ingen av primtallene under 16.

b)
[tex]168 - 1 \cdot 104 = 64 \\ 104 - 1 \cdot 64 = 40 \\ 64 - 1 \cdot 40 = 24 \\ 40 - 1 \cdot 24 = 16 \\ 24 - 1 \cdot 16 = \underline{\underline{8}} = sfd(168, 104) \\ 16 - 2 \cdot 8 = 0[/tex]

[tex]mfm = \frac{104 \cdot 168}{8} = 13 \cdot 168 = 2184[/tex]

c)
(1) 6x + 9y = 12
sfd(6, 9) = 3
3|12 (altså løsning)
(2) 6x + 7y = 435
sfd(6, 7) = 1
1|435 (altså løsning)
(3) 168x + 104y = 437
sfd(168, 104) = 8
437:8=54,625 (altså IKKE løsbar)

d) 77x + 35y = 10705
sfd(77, 35) = 7
10705:7 går ikke opp
Altså kan det ikke stemme.

e)
[tex]23x + 41y = 402 \\ 41 - 23 = 18 \\ 23 - 18 = 5 \\ 18 - 3 \cdot 5 = 3 \\ 5-3=2 \\ 3-2=1=sfd(23, 41) \\ 2-2\cdot 1=0[/tex]

OMVENDT:
[tex]3 - (5-3) = 1 \\ 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1 \\ 2 \cdot (18 - 3\cdot 5) - 5 = 1 \\ 2 \cdot 18 - 7 \cdot 5 = 1 \\ 2 \cdot 18 - 7 \cdot (23 - 18) = 1 \\ 9 \cdot 18 - 7 \cdot 23 = 1 \\ 9 \cdot (41 - 23) - 7 \cdot 23 = 1 \\ 9 \cdot 41 - 16 \cdot 23 = 1 \\ \ \\ -16 \cdot 23 + 9 \cdot 41 = 1 \ \ \ \ \ |\cdot 402 \\ -6432 \cdot 23 + 3618 \cdot 41 = 402[/tex]

[tex]x = -6432 - 41n > 0 \ \ \Rightarrow \ \ n < - \frac{6432}{41} = -156,9 \\ y = 3618 + 23n > 0 \ \ \Rightarrow \ \ n > - \frac{3618}{23} = -157,3[/tex]
n = -157, som gir:
[tex]x = -6432 + 41 \cdot 157 = 5 \\ y = 3618 - 23 \cdot 157 = 7[/tex]

Denne ble så lang, så fortsetter i en annen post

Oppgave 2
a)
[tex]2^4 \equiv 1 \ (mod \ 5) \\ 2^2 = 4 \equiv -1 \ (mod \ 5) \\ 2^4 \equiv (-1)^2 \ (mod \ 5) \\ 2^4 \equiv 1 \ (mod \ 5)[/tex]
16:5 = 3 + 1/5 => 1 til rest
Q.E.D.

b)
[tex]2^{400} = (2^4)^{100} \equiv 1^{100} \ (mod \ 5) \\ 2^{400} \equiv 1 \ (mod \ 5)[/tex]
Rest = 1

Oppgave 3
a) Dette skal være en tabell, så dere får legge til litt godvilje SUM: 199+4x
[tex]199+4x \equiv 0 \ (mod \ 11) \\ 4x \equiv -199 \ (mod \ 11) \\ 4x \equiv -199+19 \cdot 11 \ (mod \ 11) \\ 4x \equiv 10 \ (mod \ 11) \\ 2x \equiv 5 \ (mod \ 11) \\ 2x \equiv 5+11 \ (mod \ 11) \\ 2x \equiv 16 \ (mod \ 11) \\ x \equiv 8 \ (mod \ 11) \\ \underline{\underline{x = 8}}[/tex]

b) Her måtte jeg bruke Excel og ta bilde av det. Det går vel fint.


k[sub]2[/sub] + 2b[sub]1[/sub] + 3b[sub]2[/sub] + 4b[sub]3[/sub] + 5b[sub]4[/sub] skal gå opp i 31

[tex]k_2 + 257 \equiv 0 \ (mod \ 31) \\ k_2 \equiv -257 + 9 \cdot 31 \ (mod \ 31) \\ k_2 \equiv 22 \ (mod \ 31)[/tex]
k[sub]2[/sub] = 22
k[sub]2[/sub] = V



k[sub]1[/sub] + k[sub]2[/sub] + b[sub]1[/sub] + b[sub]2[/sub] + b[sub]3[/sub] + b[sub]4[/sub] skal gå opp i 31

[tex]k_1 + 90 \equiv 0 \ (mod \ 31) \\ k_1 \equiv -90 + 3\cdot 31 \ (mod \ 31) \\ k_1 \equiv 3 \ (mod \ 31)[/tex]
k[sub]1[/sub] = 3
k[sub]1[/sub] = C

Koden er: CVGUTT

c)

[tex]31 \cdot 3 = 93[/tex]
103 - 93 = 10
Ett av tallene er altså 10 for høyt.


Ett av tallene med multiplikator X er 10 for høyt
[tex]206 - 10x \equiv 0 \ (mod \ 31) \\ 10x \equiv 206 \ (mod \ 31) \\ 5x \equiv 103 - 3 \cdot 31 \ (mod \ 31) \\ 5x \equiv 10 \ (mod \ 31) \\ x \equiv 2 \ (mod \ 31)[/tex]
x = 2
b[sub]1[/sub] er 10 for høyt
tallkoden 18 minus 10 = 8
Bokstavkoden = h

Riktig melding: HUND

Oppgavene 4-6 får jeg ta etter trening. Håper noen får bruk for dette også, for dette tok tid!

Oppgave 4
[tex]p=2 \ \ \ q=5 \\ n = p \cdot q = 10[/tex]
a)
[tex]b = (p-1)(q-1) = 1 \cdot 4 = 4[/tex]

b)
[tex]d=3 \\ sfd(3, 4)=1 = \text{innbyrdes primiske}[/tex]
offentlig nøkkel d=3

c)
[tex]3x \equiv 1 \ (mod \ 4) \\ 3x \equiv 1+2 \cdot 4 \ (mod \ 4) \\ 3x \equiv 9 \ (mod \ 4) \\ x \equiv 3 \ (mod \ 4) \\ \underline{\underline{e=3}}[/tex]

d)
[tex]x =7 \\ 7^3 \equiv y \ (mod \ 10) \\ 343 \equiv y \ (mod \ 10) \\ 343 - 10 \cdot 34 \equiv 4 \ (mod \ 10) \\ 3 \equiv y \ (mod \ 10) \\ \underline{\underline{y=3}}[/tex]

e)
Dekoding [tex]3^3 \equiv z \ (mod \ 10) \\ 27 - 2 \cdot 10 \equiv z \ (mod \ 10) \\ 7 \equiv z \ (mod \ 10) \\ \underline{\underline{z=7}} \ (Q.E.D.)[/tex]

Oppgave 5
a) z[sub]1[/sub]=4-3i & z[sub]2[/sub]=-2+2i

[tex]|z_1|=\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5 \\ |z_2| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \\ |z_1| \cdot |z_2| = \underline{\underline{10 \sqrt{2}}}[/tex]

b) (viser kun ved regning, ikke ved tegning)
[tex]z_1 + z_2 = 2-i[/tex]

c)
[tex]z_1 - 2z_2 = (4-2i)-2(-2+2i) = 4-3i+4-4i = 8-7i[/tex]

d)
(1)
[tex]z_1 \cdot z_2 = (4-3i)(-2+2i) = -8+8i+6i-6i^2 = -8 + 14i + 6 = -2+14i[/tex]
(2)
[tex]\frac{z_1}{z_2} = \frac{(4-3i)(-2-2i)}{(-2+2i)(-2-2i)} = \frac{-8-8i+6i+6i^2}{4+4} = \frac{-14-2i}{8} = - \frac{7}{4} - \frac{i}{4}[/tex]

e)
(1)
[tex]\overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = \overline{z_1 \cdot z_2} = -2-14i[/tex]
(2)
[tex]\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} = \overline{\frac{z_1}{z_2}} = - \frac{7}{4} + \frac{1}{4} i[/tex]
(Konjugasjonsregler)

Oppgave 6
a)
[tex]z + iz = 1-i \\ z(1+i) = 1-i \\ z = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i[/tex]

b)
[tex]z(3+2i) = iz + 2 \\ 3z + 2iz - iz = 2 \\ z(3+i)=2 \\ z = \frac{2(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6-2i}{9+1} = \frac{3}{5} - \frac{i}{5}[/tex]

c)
[tex]z + \frac{i}{2-i} + \frac{iz}{2+i} = 0 \ \ \ | \ FN = (2-i)(2+i)=5 \\ z(2-i)(2+i) + \frac{i \cancel{(2-i)}(2+i)}{\cancel{2-i}} + \frac{iz \cancel{(2+i)}(2-i)}{\cancel{2+i}} = 0 \\ 5z + 2i - 1 + 2iz + z = 0 \\ z(6+2i) = 1-2i \\ z = \frac{(1-2i)(6-2i)}{(6+2i)(6-2i)} = \frac{6-2i-12i-4}{36+4} = \frac{2-14i}{40} = \frac{1-7i}{20} = \frac{1}{20} - \frac{7}{20}i[/tex]

Sånn. Sick Endelig ferdig med dette her.
Skjønner dere noe?

Skjønner lite, men lærer det forhåpentligvis en gang.

Takk for prøven

Vektormannen skrev:Er enig. Ble helt forbausa da jeg så hvor tynn Sinus X var :p (har mottatt den.) Syns Aschehoug-boka henger seg veldig opp i ting, og beskriver enkle algoritmer som Euklids algoritme på en veldig kronglete og tungvint måte. Det som kanskje er positivt med den er at den har med en del beviser osv. for setningene som blir presentert. Men syns absolutt at Sinus X ser bedre ut. Den går rett på sak og tar for seg de viktige poengene. Hvis det er noe jeg vil ha utdypet så har jeg jo alltids Aschehoug-boka liggende ute

Selv har jeg videregående MX-stoff fra Aschehoug. Ble veldig grepet av at bøkene het "Matematikk nMX," og jeg synes det faktum at de går veldig grundig inn i ting er givende. Klart, det blir en del mer å lese (900 sider for hele ungdomsskolestoffet), men det har jeg i grunn ikke noe problem med. Bevisene gjør også at "magifaktoren" som til tider har plaget meg forsvinner nesten helt. I det hele tatt en fryd å lese. Sinus X er også på vei. Synes iofs. det er helt greit om den er tynn og god. Det er tross alt bare et supplement. Gleder meg i det store og det hele. Stas. Får titte mer på prøven også.

er det slik at en kan ha ekstra realfag som valgfag på vgs i disse dager?
har hatt om alt dette her på ntnu, så prøven var enkel nok den

men moro at det går an å velge flere realfag i stedet for kun mx/fy/kj som det var før i tiden. hadde lett valgt dette faget over f.eks kj-fagene

Yay, fikk 6 på denne.

Realist1, Er det mulig å lære seg X-matte på egenhånd? Eller blir det for vanskelig? Må man kjøpe seg grunnboka og oppgaveboka?

Med Sinus-boka burde det hvertfall gå an. Den andre Aschehoug-boka så litt tung ut, men jeg har ikke prøvd, så det er vanskelig å si. Det som står i Sinus X er ikke altfor avansert, men noen problemer støter du jo på. Da er det godt å ha forumet her, hva? I tillegg er det jo løsningsforslag og fasit til alle oppgavene på Sinus sine hjemmesider.

Vi har jo nesten vært nødt til å lære det litt selv, for lærren blir ganske engasjert og går en smule fort frem. Mange som ikke alltid henger med, og ikke "tør" å be ham om å roe ned. Så det er et par i klassen som rett og slett bare "blokkerer" praten til læreren, så leser de hele pensum selv. Men det kan godt være det blir for vanskelig likevel. I R-matten har vi hele karakterspekteret i klassen, men i X så er det egentlig delt inn i to grupper; de som forstår og de som ikke forstår. Det sa læreren også: "Merkelig gruppe dette her. Noen klarer alt og resten klarer ingenting." Da sikter han til at den lille klassen vår på 8 stykker er splittet. Det er et par stykker som får sterke 5ere og 6ere på alt, mens resten av elevene får svake 3ere og 2ere. Ikke noen mellomting liksom.

Men forsøk gjerne! Det er det desidert morsomste mattefaget jeg har tatt hittil, så jeg har det hvertfall gøy der. Noen av reglene og prinsippene der kan være vanskelig å fatte, men jeg hjelper deg gjerne, og det gjør helt sikekrt resten av forumet også, og kanskje du har lærere på skolen som også kan hjelpe? Jeg synes hvertfall du skal gjøre et forsøk hvis du er interessert!

Og ja, jeg ville kjøpt boka. Den er like tjukk som R1-boka, men inneholder en oppgavesamling bakerst. Det er som hovedboka + oppgaveboka er slått sammen til én bok. Jeg tror ikke du klarer det uten bok, så jeg vil anbefale deg å kjøpe eller låne boka. Men alt dette bestemmer du jo selv.

X matte virker som et gøyal fag da jeg synes R1 blir noen ganger lite utfordrende (selvfølgelig er det noen oppgaver jeg støter på som jeg synes er vanskelig). Det skader vel ikke å ha mange fag samtidig Skal prøve å gjøre et forsøk på å fullføre 1-2 delkapitler i x-matte hver uke hvis jeg får kjøpt den.

Hva bør man ligge på Karaktermessig i R1 for å forstå x-matte? For jeg oppfatter ting i matte noenlunde treigt


Jo, forøvrig i denne linken; http://www.bokkilden.no/SamboWeb/enkelt ... mit=%C2%A0 er det to typer x-matte. Hvilken av dem skal jeg kjøpe?

X-matte er en helt annen gren av matte, og karakteren din fra R1 vil nok ikke ha så mye å si. Vi hadde 5ere i R-matte som sluttet i X fordi de ikke skjønte noe, men samtidig har vi faktisk en 2er og flere 3ere i R-matte som henger greit med i X. Jeg tror du klarer det.

Av de to bøkene tar du forresten det som passer deg. Den ene er bokmål, den andre er nynorsk. Velg det språket du liker best.
ISBN på min bok er: 978-82-02-26756-8