matematikk.net

thedole skrev:eeek, ble litt skremt nå. Er det en måte å utlede at [tex]\int\frac{dx}{x^2+1}= arctan(x)[/tex] på som kan få en stakkar til å forstå hvorfor?

trur jeg lærte denne engang...

x = tan(y)
y = arctan(x)

x = tan(y)
deriverer denne implisitt:

[tex]dx=(1\,+\,\tan^2(y))\,dy[/tex]

integrerer begge sider:

[tex]\int \frac{dx}{1+x^2}=\int\,dy[/tex]


[tex]\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan(x)\,+\,C[/tex]

Dette tok av, tror jeg må komme tilbake til denne tråden om noen års tid..

espen180 skrev:[tex]f^\prime(c)=\frac{1}{{f^{-1}}^\prime(c)}[/tex] der [tex]c[/tex] er en konstant.

Slik står det ihvertfall i min bok Calculus fra MIT.

Rotet litt jeg. Her er det som som står i min Kalkulus-bok:

Anta at f er en kontinuerlig, strengt monoton funksjon som er deriverbar i punktet x med [tex]f^\prime(x) \neq 0[/tex]. Da er den omvendte funksjonen [tex]g=f^{-1}[/tex] deriverbar i punktet [tex]y=f(x)[/tex]og
[tex]g^\prime(y)=g^\prime(f(x))=\frac{1}{f^\prime(x)}[/tex]

Vi snur på formelen og får: [tex]f^\prime(x) =\frac{1}{g^\prime(f(x))[/tex]. La [tex]f(x)=arctan(x)[/tex] og dermed [tex]g(y)=tan(y)[/tex]. Vi deriverer [tex]g[/tex]:
[tex]g^\prime(y) = 1+tan^2(y)[/tex]
Dermed har vi:
[tex]f^\prime(x)=\frac{1}{1+tan^2(y)} = \frac{1}{1+tan^2(arctan(x))}=\frac{1}{1+x^2}[/tex]

Siden [tex]y=f(x)[/tex].

Med alle antagelser om deriverbarhet antatt er det vel ikke verre enn at

dersom g er den omvendte funksjonen til f er per def.

[tex]g(f(x))=x[/tex]

Derivering av begge sider gir

[tex]g^,(f(x))*f^,(x)=1[/tex], så

[tex]f^,(x)=\frac{1}{g^,(f(x))}[/tex]

*humre* Den der var ganske enkel. Også en del mer forståelig utledning enn matteboken (dog matteboken var sikkert hakket mer rigorøs).

Ja, min utledning er ikke rigorøs, men egner seg godt som en slags måte å huske formelen på.