matematikk.net

Her er ett til deg, Jarle10, når du skal lære delbrøkoppspalting. Bruker også det at [tex]\arctan^\prime (x) = \frac{1}{1+x^2}[/tex].

[tex]I = \int \frac{5x^2 + 3x + 5}{x^3 + x} {\rm d}x[/tex]

dobbelpost

Jeg er fortsatt litt usikker på delbrøkoppspalting, så gjerne påpek feil i fremgangsmåte:

[tex]I = \int \frac{5x^2+3x+5}{x^3+x} dx = \int \frac{5x^2+3x+5}{x(x^2+1} dx[/tex]

Vi spalter brøken:

Jeg har sett et sted at vi må anta en førstegradslikning over en annengradslikning som jeg har gjort her(Bx+C), men er ikke sikker på det:

[tex]\frac{5x^2+3x+5}{x^3+x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \\ 5x^2+3x+5=A(x^2+1)+(Bx+C)(x) = Ax^2+A+Bx^2+Cx[/tex]
Vi separerer likningen:
[tex]Ax^2+Bx^2=5x^2 \\ Cx=3x \\ A=5[/tex]

[tex]5x^2+Bx^2=5x^2[/tex]
[tex]B=0 \\ A=5 \\ C=3[/tex]

[tex]I = \int \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2+1} dx = 5\ln{|x|} + 3\int\frac{1}{1+x^2}[/tex]
[tex]I_2=\int \frac{1}{1+x^2}dx[/tex]
[tex]\tan{u}=x[/tex]
[tex]du=\frac{1}{1+x^2}dx[/tex]
[tex](1+x^2)du=dx[/tex]
[tex]I_2=\int \frac{(1+x^2)du}{1+x^2} = u+C_1[/tex]
[tex]u=arctan(x)[/tex]
[tex]I_2 = arctan(x)+C_1[/tex]
[tex]I= 5\ln{|x|} +3I_2 = 5\ln{|x|} +3arctan(x)+3C_1 = 5\ln{|x|} +3arctan(x)+C[/tex]

Alternativ løsning:

[tex]I \qquad = \qquad \int \frac{5x^2 + 3x + 5}{x^3 + x} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{5}{3}\int \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} + \frac{\frac{9}{5}}{x^2 + 1} + \frac{\frac{2}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{5}{3} \ln|x^3+x| + 3\arctan(x) - \frac{5}{3}\ln|1 + \frac{1}{x^2}| + C \\ = \qquad 5 \ln|x| + 3\arctan(x) + C[/tex]

(Oppspaltningen er gjort ved inspeksjon)

Edit: Kan jo vise stegene i oppspaltningen min og.

Tanke 1: Jeg kan jo få divisor til å bli et derivat av dividend. Dermed har jeg forenklet uttrykket, og fått en integrand jeg lett kan hanskes med.
[tex]\frac{5x^2 + 3x + 5}{x^3 + x} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{5}{3}\left( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} + \frac{\frac{9}{5}x+2}{x^3 + x}\right)[/tex]

Tanke 2: Jeg kan dele opp den andre brøken og få et utrykk som integreres til arctan
[tex]\frac{\frac{9}{5}x+2}{x^3 + x} \qquad = \qquad \frac{\frac{9}{5}}{x^2+1} + \frac{2}{x^3+x}[/tex]

Tanke 3: Deler jeg siste brøken med [tex]x^3[/tex] i teller og nevner, blir teller rimelig lik derivatet av nevneren.
[tex]\frac{2}{x^3+x} = \frac{\frac{2}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2}}[/tex]

Jarle10 skrev:


[tex]\frac{5x^2+3x+5}{x^3+x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \\ (1) \ 5x^2+3x+5=A(x^2+1)+(Bx+C)(x) = Ax^2+A+Bx^2+Cx[/tex]
Vi separerer likningen:
[tex]Ax^2+Bx^2=5x^2 \\ Cx=3x \\ A=5[/tex]

[tex]5x^2+Bx^2=5x^2[/tex]
[tex]B=0 \\ A=5 \\ C=3[/tex]

Dette er helt korrekt gjort, men for å komme med et lite tips så kan det være nyttig å bare sette x=0 i likning (1). Da får man at A=5.
Av og til kan man så fortsette slik, eller gjøre det på standardmåten du brukte

Hei, Jarle! Hvor er oppfølgerintegralet?

Slike poster vekker tårer i øyenkroken til matematiker:) (OK, nettopp ferdig med grillfest og norge-argentina @ bygg miljø ing fadder opplegg )

Må bare si at

[tex]\int \sqrt{\tan(x)}{\rm dx}\;[/tex]ble løst på en fin måte.

Jeg tillater meg å komme med ett bidrag, tiltross for at Jarle har æren.
Han kan jo bare sende i vei sitt bidrag også.
Trur forøvrig integralet under havner i over heavy-klassen.

[tex]I_{\text heavy}=\int \frac{\rm dx}{1+x^5}[/tex]

Olorin skrev:Slike poster vekker tårer i øyenkroken til matematiker:) (OK, nettopp ferdig med grillfest og norge-argentina @ bygg miljø ing fadder opplegg )

Ja, det var kult, så kampen sjøl. Kunne de bare spilt tilsvarende bra i viktige kvalik. kamper også...

Foreløpig arbeid følger. Jeg vet ikke hvorvidt det vil lede frem:

Delbrøkpoppspaltning gir
[tex]I_{\rm{heavy}} \qquad = \qquad \int \frac{\rm{d}x}{1+x^5} \qquad = \qquad \frac{1}{5}\int \frac{1}{x+1} + \frac{-x^3+2x^2-3x+4}{x^4-x^3+x^2-x+1} \rm{d}x \qquad = \qquad \frac{1}{5}\ln|x+1| - \frac{1}{20}\int \frac{4x^3 - 3x^2+2x-1}{x^4-x^3+x^2-x+1} + \frac{-5x^2+10x-15 }{x^4-x^3+x^2-x+1} \rm{d}x \\ = \qquad \frac{1}{5}\ln|x+1| -\frac{1}{20}\ln|x^4-x^3+x^2-x+1| - \frac{1}{4} \int \frac{x^2-2x+3 }{x^4-x^3+x^2-x+1} \rm{d}x[/tex]


[tex]I_1 \qquad = \qquad \int \frac{x^2-2x+3 }{x^4-x^3+x^2-x+1} \rm{d}x \qquad = \qquad \int \frac{(x-1)^2+2}{(x-1)^4+3(x-1)^3+4(x-1)^2+2(x-1)+1}\rm{d}x[/tex]

La [tex]u = x-1[/tex]

[tex]I_1 \qquad = \qquad \frac{u^2+2}{u^4+3u^3+4u^2+2u+1} \rm{d}u[/tex]

Enig i at delbrøkoppspalting bør føre fram, men tror det er bedre å ta utgangspunkt i røttene i likningen
[tex]x^5=-1[/tex], altså

[tex]x_k=e^{i\frac{\pi+2k\pi}{5}}[/tex], der [tex]k=0..4[/tex]

Da kommer arctan-leddene inn via kompleks logaritme når man integrerer de enkle delbrøkene. Hvis man alternativt vil jobbe reelt, kan man slå sammen de kompleks konjugerte parene til to andregradsfaktorer.

Beklageligvis har jeg ikke tid til å gjennomføre detaljene nå...

Kommentar: La ikke merke til at dette var på videregående skoles nivå. Da blir nok løsningsmetoden i vanskeligste laget...

Du har nok blitt litt slurvete i notasjonen, daofeishi Ville ikke giddet å kommentere det hvis det ikke var for at jeg tror du liker å notere ting korrekt..

[tex]\int f(x) + g(x) {\rm d}x[/tex] gir ikke mening.

Men [tex]\int \left ( f(x) + g(x) \right ) {\rm d}x[/tex] gjør det.

Du har selvsagt helt rett i prinsippet Eirik, men jeg jobber etter ordtaket "jo flere parenteser jo mere søl" Jeg skal revurdere notasjonen min litt

fish skrev:Enig i at delbrøkoppspalting bør føre fram, men tror det er bedre å ta utgangspunkt i røttene i likningen
[tex]x^5=-1[/tex], altså

[tex]x_k=e^{i\frac{\pi+2k\pi}{5}}[/tex], der [tex]k=0..4[/tex]

Da kommer arctan-leddene inn via kompleks logaritme når man integrerer de enkle delbrøkene. Hvis man alternativt vil jobbe reelt, kan man slå sammen de kompleks konjugerte parene til to andregradsfaktorer.

Beklageligvis har jeg ikke tid til å gjennomføre detaljene nå...

Kommentar: La ikke merke til at dette var på videregående skoles nivå. Da blir nok løsningsmetoden i vanskeligste laget...

Kunne du vist dette likevel?

Glemte helt oppfølgerintegral!

Får bare lage et da:

[tex]I = \int 2x^3(sin(x)+cos(x)) dx[/tex]