Integralregning 3MX, jeg løser

[MatteNoob]

[tex]I=\pi \int(x^{0.6}\,+\,2x^{0.3}\,+\,1)\,dx[/tex]
bruk
[tex]\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}\,+\,C[/tex]

Flaut, haha!

----------------------------------
PS: ikke rart du er trøtt, du regner jo natt og dag. Jeg regna med d...

Hahaha, ja, tar litt av her - vanskelig å legge det fra seg. :] "Bare ett til, bare ett til..."

Men du, siden:

[tex]V_g - V_f = V[/tex]

Kan man da si at:

[tex]V = \pi \cdot \left(\int_0^{20} \left( (g(x) )^2\right)\rm{d}x - \int_2^{20}\left( (f(x))^2\right)\rm{d}x\right)[/tex]

Vi ser jo at grensene er forskjellige for de to integralene, så da har vi vel ikke lov til å slå dem sammen?

For hvis feks [tex]f(x) \, >\, g(x)[/tex] så har jeg lest at:

[tex]V= \pi \cdot \int_a^b\left( (f(x))^2\right) \rm{d}x - \pi \cdot \int_a^b\left( (g(x))^2\right)\rm{d}x \\ \, \\ \Updownarrow \\ \, \\ V = \pi \int_a^b\left( (f(x))^2 - (g(x))^2\right)\rm{d}x \\ \, \\ \Updownarrow \text{ Vi kan bruke konjugatsetningen baklengs} \\ \, \\ V = \pi \cdot \int_a^b \left( \left( f(x) + g(x) \right) \cdot \left( f(x) - g(x) \right) \right)\rm{d}x[/tex]

Men som spurt, dette går vel ikke i dette tilfellet?

[Janhaa]

Men du, siden:
[tex]V_g - V_f = V[/tex]
Kan man da si at:
[tex]V = \pi \cdot \left(\int_0^{20} \left( (g(x) )^2\right)\rm{d}x - \int_2^{20}\left( (f(x))^2\right)\rm{d}x\right)[/tex]
Vi ser jo at grensene er forskjellige for de to integralene, så da har vi vel ikke lov til å slå dem sammen?

nei, disse kan ikke slåes sammen.

For hvis feks [tex]f(x) \, >\, g(x)[/tex] så har jeg lest at:
[tex]V= \pi \cdot \int_a^b\left( (f(x))^2\right) \rm{d}x - \pi \cdot \int_a^b\left( (g(x))^2\right)\rm{d}x \\ \, \\ \Updownarrow \\ \, \\ V = \pi \int_a^b\left( (f(x))^2 - (g(x))^2\right)\rm{d}x \\ \, \\ \Updownarrow \text{ Vi kan bruke konjugatsetningen baklengs} \\ \, \\ V = \pi \cdot \int_a^b \left( \left( f(x) + g(x) \right) \cdot \left( f(x) - g(x) \right) \right)\rm{d}x[/tex]
Men som spurt, dette går vel ikke i dette tilfellet?

det går vel...
----------------------------------------

generelt kan man skrive, men dette veit du:

[tex]\int_{-1}^1\,dx\,=\,2\int_0^1\,dx[/tex]

[MatteNoob]

Mr Orakel :]

Hjertlig takk, det var oppklarende.

Jeg ser logikken i det grenseskiftet du gjorde ved å multiplisere integralet med 2, men var ikke klar over det. Takk for det tipset også.

[MatteNoob]

1. Velg et tall a som er i nærheten av [tex]\sqrt n[/tex]

2. Sett [tex]b = \frac 12 \left(a+\frac na\right)[/tex]

Bruk Herons metode til å finne en tilnærmingsverdi for roten av 649.

[tex]25^2 = 625 [/tex] derfor setter jeg [tex]a=25[/tex]

[tex]b = \frac12\left(25+\frac{649}{25}\right) = \frac 12 \left(25+25.96) =\underline{\underline{25.48}}[/tex]

Hvis vi tar roten av 649 på kalkulatoren får vi [symbol:tilnaermet] 25.475

Vi konkluderer at vi har fått en god tilnærmingsverdi for roten av 649.

En god tilnæringsverdi kan du få ved å bruke:

[tex]\int_a^b \left(f(x)\right)\rm{d}x \approx \frac 16\left[f(a) + 4\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right]\cdot (b-a)[/tex]

Rimelig sjukt!

Se på funksjonen [tex]f(x) = \frac{1}{1+x}[/tex]

a) Finn en tilnærmingsverdi for [tex]\int_0^1\left( f(x) \right)\rm{d}x[/tex] Gi svaret i fire desimaler.

b) Sammenlikn tilnærmingsverdien i a med det svaret du får når du antideriverer funksjonen og regner ut integralet.

a)
[tex]\int_0^1 \left(f(x)\right)\rm{d}x \approx \frac 16\left[f(0) + 4\cdot f\left(\frac{0+1}{2}\right) + f(1) \right]\cdot (1-0) = \frac 16 \cdot \left[ 1+ 4\cdot \frac 23 + \frac 12\right] = \frac 16 \cdot \left[\frac{25}{6}\right] = \underline{\underline{\, \frac{25}{36} \approx 0.694\overline 4\,}}[/tex]

b)
[tex]\int_{0}^{1} \left( \frac{1}{1+x} \right)\rm{d}x[/tex]

[tex]u=1+x \\ \, \\ du = 1 dx[/tex]

[tex]\int_{0}^{1} \left( \frac{1}{1+x} \right)\rm{d}x = \int_{u(0)}^{u(1)} \left( \frac{1}{u} \right)\rm{d}u = \left[ln(u)\right]_1^2 = \left[ln(|x+1|)\right]_0^1 = F(1) - F(0) = ln(2)-ln(1) = \underline{\underline{ln(2) \approx 0.6931}}[/tex]

Sammenlikner
[tex]\frac{\frac{25}{36}}{ln(2)} \approx 1.0019[/tex]

Vi har fått en god tilnærmingsverdi for integralet!

[MatteNoob]

a) Vis at [tex]\left((lnx)^2 + 5ln(x)\right)\prime = \frac{2ln(x) +5}{x}[/tex]

b) Bruk resultatet i oppgave a til å regne ut arealet avgrenset av x-aksen grafen til [tex]f(x) = \frac{2ln(x) + 5}{x}[/tex] og linjene x=1 og x=e

a)
[tex]\left((lnx)^2 + 5ln(x)\right)\prime = \\ \, \\ u = ln(x) \,\,\, u\prime = \frac 1x \\ \, \\ \left((u^2)\prime \cdot u\prime\right) + 5(ln(x))\prime = \\ \, \\ 2ln(x) \cdot \frac 1x + 5 \cdot \frac 1x =\underline{\underline{\frac{2ln(x) +5}{x}}}[/tex]

b)
[tex]\int_{1}^{e} \left( \frac{2ln(x) +5}{x} \right)\rm{d}x = \left[(lnx)^2 + 5ln(x)\right]_1^e = F(e) - F(1) = 6 - 0 = \underline{\underline{\, 6\, }} [/tex]

[MatteNoob]

Regn ut:

a) [tex]\int(3x\cdot e^x)\rm{d}x[/tex]

b) [tex]\int(xe^{3x})\rm{d}x[/tex]

a)
[tex]u\prime = e^x \,\,\, u = e^x \\ v\prime = 3 \,\,\, v = 3x[/tex]

[tex]\int\left( 3x\cdot e^x \right)\rm{d}x = 3x\cdot e^x - \int(3e^x)\rm{d}x = \underline{\underline{{(3x-3)e^x + C}}[/tex]

b)
[tex]\int(xe^{3x})\rm{d}x[/tex]

[tex]u = x \,\,\, u\prime = 1 \\ \, \\ v = \frac 13 e^{3x}\,\,\, v\prime = e^{3x}\\ \, \\ \, \\ \int(xe^{3x})\rm{d}x = \frac 13 xe^{3x} - \int \left(\frac 13 e^{3x}\right)\rm{d}x = \frac 13xe^{3x} - \frac 19e^{3x} = \underline{\underline{\frac{(3x-1)e^{3x}}{9} + C}}[/tex]

[MatteNoob]

a) Regn ut: [tex]\int(2x \cdot ln(0.5x))\rm{dx}[/tex]
b) Bruk resultatet i oppgave a til å regne ut arealet mellom x-aksen grafen [tex]f(x) =2x\cdot ln(0.5x)[/tex] og linjene x=3 og x=4

a)
Skriver om integralet litt:

[tex]\int\left(2x \cdot ln(\frac x2)\right)\rm{dx}[/tex]

Her må vi bruke delvis integrasjon, og jeg setter:

[tex]\left(ln(\frac x2)\right)\prime = \left(ln(w)\right)\prime \cdot w\prime = \frac{w\prime}{w} = \frac{\frac 12}{\frac x2} = \frac 12 \cdot \frac 2x = \frac 1x[/tex]

[tex]u\prime = 2x \,\,\, u = x^2 \\ \, \\ v\prime = \frac 1x \,\,\, v = ln\left(\frac x2\right)[/tex]

[tex]\int\left(2x \cdot ln(\frac x2)\right)\rm{dx} = x^2 \cdot ln\left(\frac x2\right) - \int\left( x^{\cancel 2} \cdot \frac{1}{\cancel x}\right)\rm{dx}[/tex]

[tex]\int\left(2x \cdot ln(\frac x2)\right)\rm{dx} = x^2 \cdot ln\left(\frac x2\right) - \int\left( x\right)\rm{dx} = x^2\cdot ln\left(\frac x2\right) - \frac 12x^2 = \underline{\underline{ x^2\left(ln\left(\frac x2\right) - \frac 12\right) + C}}[/tex]

b)
[tex]\left[x^2\left(ln\left(\frac x2\right) - \frac 12\right)\right]_3^4 = F(4) - F(3) = \left(16ln(2) - \frac{16}{2}\right) - \left(9ln(\frac 32) - \frac{9}{2}\right) = \\ \, \\ 16ln(2) - 9ln(\frac 32) - \frac 72 \approx \underline{\underline{3.941}}[/tex]

[MatteNoob]

Regn ut integralene

a)
[tex]\int \left( (3x^2-2x)\cdot(x^3 - x^2)^5 \right)\rm{d}x[/tex]

[tex]u = x^3 - x^2 \\ \, \\ du = (3x^2 - 2x)\rm{dx}[/tex]

Vi ser at vi kan substituere fordi du er likt det første uttrykket.

[tex]\int\left(u^5\right)\rm{d}u = \frac 16 u^6 = \underline{\underline{\frac{(x^3-x^2)^6}{6} + C}}[/tex]

b)
[tex]\int \left( 6x \cdot ln(x^2+3) \right)\rm{d}x[/tex]

Her kan vi også bruke substitusjon, men vi må gjøre et lite "triks".

[tex]u = x^2 +3 \\ \, \\ du = 2x\, \rm{d}x[/tex]

Vi ser at vi har 6x inne integralet, mens du bare er 2x, derfor multipliserer vi hele integralet og du med 3:

[tex]du = 6x\, \rm{d} x[/tex]

[tex]3 \cdot \int\left(ln(u)\right)\rm{d}u = 3 \cdot \int\left(1\cdot ln(u)\right)\rm{d}u[/tex]

Nå må vi bruke delvis integrasjon.

[tex]w = u \,\,\, w\prime = 1 \\ \, \\ v = ln(u) \,\,\, v\prime = \frac 1u[/tex]

[tex]3 \cdot \int\left( 1\cdot ln(u) \right)\rm{d}u = u \cdot ln(u) - \int\left(\cancel u \cdot \frac{1}{\cancel u}\right)\rm{d}u = \underline{3\left(u\cdot ln(u) - u\right) + C}[/tex]

Setter inn for u og forenkler.

[tex]\underline{\underline{3(x^2+3)\cdot \left[ln(x^2+3) - 1\right] + C}}[/tex]

c)
[tex]\int_{2}^{5} \left( \frac{2x+1}{x^2+x} \right)\rm{d}x[/tex]

Vi setter:
[tex]u = x^2+x \\ \, \\ du = 2x+1[/tex]

[tex]\int_{u(2)}^{u(5)} \left( \frac 1u\right)\rm{d}u = \left[ln(u)\right]_6^{30} = \left[ln|x^2+x|\right]_2^5 = ln(30) - ln(6) = ln\left(\frac{30}{6}\right) = \underline{\underline{ln(5)}}[/tex]

d)
[tex]\int_{ln2}^{ln4} \left( \frac{3e^x}{e^x+3} \right)\rm{d}x[/tex]

[tex]u = e^x + 3 \\ \, \\ du = e^x \, dx[/tex]

[tex]3\cdot \int_{ln2}^{ln4} \left( 3e^x \frac{1}{e^x+3} \right)\rm{d}x\,\,\,\, setter:\,\,\, du =3e^x\, dx[/tex]

Substituerer:

[tex]3\cdot \int_{u(ln2)}^{u(ln4)}\left(\frac 1u\right) = 3\cdot \left[ln|u|\right]_5^7 = \left[3ln|e^x + 3|\right]_{ln2}^{ln4} = F(ln4) - F(ln2) =\\ \, \\ 3ln(e^{ln4}+3) - 3ln(e^{ln2}+3) = 3ln(7)-3ln(5) = \underline{\underline{3ln\left(\frac{7}{5}\right)}} [/tex]

e)
[tex]\int \left( \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \right)\rm{d}x[/tex]

[tex]u = e^x + e^{-x} \\ \, \\ du = e^x-e^{-x}\, \rm{d}x[/tex]

Substituerer

[tex]\int \left(\frac{1}{u}\right) \rm{d}u = ln(u) = \underline{\underline{ln(e^x+e^{-x}) + C}}[/tex]

[MatteNoob]

Figuren viser et plan gjennom ei tønne. Vi har lagt inn et koordinatsystem med x-aksen gjennom midten av tønna. Origo er plassert midt i tønna. Tønna er 2.0 m høy.



Vi legger et plan vinkelrett på x-aksen i punktet (x, 0). Arealet A(x) m[sup]2[/sup] av snittflaten mellom planet og tønna er [tex]A(x) = \pi\left(0.2x^2-0.6\right)^2[/tex]

Vis at [tex]A(x) = \pi\left(0.04x^4 - 0.24x^2 + 0.36)[/tex]

Regn så ut volumet av tønna.

Viser A(x)
[tex]A(x) = \pi\left(0.2x^2-0.6\right)^2 \\ \, \\ A(x) = \pi\left(0.2x^2-0.6\right)\left(0.2x^2-0.6\right) \\ \, \\ A(x) = \pi\left( 0.04x^4 - 0.12x^2 - 0.12x^2 + 0.36\right) \\ \, \\ A(x) = \pi\left(0.04x^4 - 0.24x^2 + 0.36\right)[/tex]

Bestemmer volumet av tønna.
Fra teksten får vi opplyst at tønna er 2 m høy, videre ser vi grensene er x=-1 og x=1 på tegningen. Siden figuren er symmetrisk om aksene, kan vi endre den nedre grensen til 0 ved å multiplisere integralet med 2. (Takk, Janhaa :]) Dette gjør utregningen kortere og enklere.

[tex]2\pi \cdot \int_0^1 \left(0.04x^4-0.24x^2+0.36\right)\rm{d}x = 2\pi \cdot (\frac{0.04}{5}x^5 - \frac{0.24}{3}x^3 +0.36x)|_0^1 = \\ \, \\ \left[2\pi\left(0.008x^5 - 0.08x^3 + 0.36x\right)\right]_0^1 = A(1)-A(0) = 2\pi\left(0.008-0.08+0.36\right) - 0 \approx \underline{1.809m^3} [/tex]

[tex]1.809\, m^3 =\underline{\underline{1809\, liter}}[/tex]

[MatteNoob]

Formen på en skål er bestemt ved at grafen til funksjonen [tex]f(x) = \sqrt{2x+4}[/tex] dreies 360 grader om x-aksen.

a) Regn ut volumet av skåla når den delen av grafen som dreies, ligger mellom y-aksen og linja x=4

b) Vi dreier nå den delen av grafen som ligger mellom y-aksen og linja x=h, der h er et positivt tall, 360 grader om x-aksen.

Hvilken verdi må h ha, for at volumet av skåla skal bli 60 [symbol:pi] ?

a)
Mellom y-aksen og x=4 er det samme som mellom x=0 og x=4.

[tex]\pi \int_{0}^{4} \left( (\sqrt{2x+4})^2 \right)\rm{d}x = \pi \int_0^4(2x+4)\rm{d}x = \pi\left[x^2 + 4x\right]_0^4 = F(4) - F(0) = \pi(16+16) -0 = \underline{\underline{32\pi}}[/tex]

b)
[tex]\pi \int_{0}^{h} \left( (\sqrt{2x+4})^2 \right)\rm{d}x = \pi \int_0^h(2x+4)\rm{d}x = \pi\left[x^2 + 4x\right]_0^h = F(h) - F(0) = \pi(h^2+4h) -0 = \underline{\pi(h^2+4h)}[/tex]

Vi har nå funnet et generellt uttrykk for skålen, uttrykt ved høyden.

[tex]g(h) = \pi(h^2+4h) \\ \, \\ g(h) = 60\pi \\ \, \\ \, \\ \pi(h^2+4h) = 60\pi \\ \, \\ h^2 + 4h = 60 \\ \, \\ h^2 + 4h -60 = 0 \\ \, \\ h_1 = 6 \,\,\, h_2=-10[/tex]

Høyden kan selvfølgelig ikke være -10, vi konkluderer:

[tex]\underline{\underline{\text{Ved g(6) = 60\pi}}}[/tex]