Vektormengde

[sletvik]

1) I en oppgave jeg har står det
Vektormengden V={x er element i R[sup]3[/sup] | x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub]-x[sub]3[/sub]=0}
Hva betyr egentlig dette? Er de forskjellige x'ene vektorer?
Jeg skapte mye brudulje her sist jeg spurte om underrom, men jeg prlver meg igjen: Hvordan skal jeg vise at følgende vektormengde ikke er et underrom i R[sup]3[/sup]?

{x|x[sub]1[/sub]=s+1, x[sub]2[/sub]=2s-t, x[sub]3[/sub]=s}

2) I den forrige diskusjonen kom det fram at enhver kombinasjon av to vilkårlige vektorer var med i underrommet, det var forøverig snakk om denne vektormengden:

[s+t, 2s+t, 3s+3t] = s[1,2,3] + t[1,1,3]

Lager meg to vilkårlige vektorer utifra oppg, feks en med s=1, t=0 og en annen med s=0, t=1. Får da u = [1, 2, 3] og v = [1, 1, 3]. Sjekker så om begge betingelsene holder:

i) Er u+v med i underrommet?
u+v = [1+1 , 2+1, 3+3]. Dvs nå er s=1, t=1, og denne vektoren er også med i underrommet.

ii) Er c*u med i underrommet for en eller annen konstant c?
c*u = [c , 2c, 3c]. Dvs s=c, t=0, og er da også med i underrommet.

Her konkluderer han med at begge disse kravene er oppfylte, hvorfor er de det?? Og hva ville eventuelt gjort at de ikke ble oppfylt?

[Bernoulli]

1)
Du kan lese det som at V inneholder alle vektorer x=[x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub]] som tilfredsstiller x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub]-x[sub]3[/sub]=0.

For at V skal være et underrom må to kriterier holde:
i) Hvis u og v er med i V, så er også u+v med i V
ii) Hvis u er med i V og c er en skalar, så er c*u med i V

Hvis én av disse ikke gjelder, så er ikke V et underrom.

Vi tester så dette på den oppgitte vektormengden {x|x[sub]1[/sub]=s+1 , x[sub]2[/sub]=2s-t, x[sub]3[/sub]=s} med vektorene:
u = [s[sub]1[/sub]+1, 2s[sub]1[/sub]-t[sub]1[/sub], s[sub]1[/sub]]
v = [s[sub]2[/sub]+1, 2s[sub]2[/sub]-t[sub]2[/sub], s[sub]2[/sub]]

Har u+v samme form (kan skrives på samme måte)?

u+v = [s[sub]1[/sub]+s[sub]2[/sub]+2, 2(s[sub]1[/sub]+s[sub]2[/sub])-(t[sub]1[/sub]+t[sub]2[/sub]), s[sub]1[/sub]+s[sub]2[/sub]]

Setter s = s[sub]1[/sub]+s[sub]2[/sub] og t = t[sub]1[/sub]+t[sub]2[/sub], og får

u+v = [s+2, 2s-t, s]
Vi ser at denne vektoren ikke er med i V (fordi første komponent har formen s+2 og ikke s+1). Vi kan derfor med en gang si at denne vektormengden ikke danner et underrom til R[sup]3[/sup].

Jeg håper dette også besvarer litt av spørsmål 2).