Hei,
Er det mulig å regne ut kvadrat roten av et tall, uten bruk av en kalkulator? Kvadrat tall er ikke med....
nt-rot
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Jeg har ikke lest gjennom alle svarene i linken over, men tenkte det uansett kunne være på sin plass å presisere (hvis det ikke er blitt gjort allerede) at:
For alle hele tall som ikke er kvadrattall så er kvadratroten av tallet et irrasjonalt tall. Litt upresist kan man derfor si at det ikke er mulig å skrive tallet nøyaktig på noen annen måte enn ved å bruke kvadratrottegn. På spørsmålet om det er mulig "å regne ut" tallet er svaret derfor: JA - i form av at du kan bestemme et uendelig antall desimaler av tallet ved hjelp av diverse tilnærmingsmetoder (f.eks rekkeutvikling, iterasjonsmetoder). Men merk altså at kvadratroten av tallet ikke kan finnes som et rasjonalt tall (brøk). Dermed vil alle metoder som "regner ut" kvadratroten ha en unøyaktighet, der størrelsen på avviket avhenger av hvor lenge du gidder å regne samt hvor bra metoden din er!
Dessuten så er det jo verdt å nevne at det er nettopp på denne måten kalkulatoren din gjør det (vha tilnærmingsmetoder)! Den er altså heller ikke nøyaktig (noe den heller ikke kan være, siden den ikke kan regne ut et uendelig antall desimaler), men forhåpentligvis så nøyaktig at alle desimalene den viser er riktige.
For alle hele tall som ikke er kvadrattall så er kvadratroten av tallet et irrasjonalt tall. Litt upresist kan man derfor si at det ikke er mulig å skrive tallet nøyaktig på noen annen måte enn ved å bruke kvadratrottegn. På spørsmålet om det er mulig "å regne ut" tallet er svaret derfor: JA - i form av at du kan bestemme et uendelig antall desimaler av tallet ved hjelp av diverse tilnærmingsmetoder (f.eks rekkeutvikling, iterasjonsmetoder). Men merk altså at kvadratroten av tallet ikke kan finnes som et rasjonalt tall (brøk). Dermed vil alle metoder som "regner ut" kvadratroten ha en unøyaktighet, der størrelsen på avviket avhenger av hvor lenge du gidder å regne samt hvor bra metoden din er!
Dessuten så er det jo verdt å nevne at det er nettopp på denne måten kalkulatoren din gjør det (vha tilnærmingsmetoder)! Den er altså heller ikke nøyaktig (noe den heller ikke kan være, siden den ikke kan regne ut et uendelig antall desimaler), men forhåpentligvis så nøyaktig at alle desimalene den viser er riktige.
hva skulle disse formlene kunne inneholde?
Abel viste dessuten at den generelle femtegradligning (eller høyere ordener) ikke kan løses med de kjente regnearter INKLUDERT rotudragninger. Derfor hjelper det ikke å "finne formler" eller "regne ut" disse røttene. Mitt poeng er uansett at de formlene du søker ikke finnes rett og slett fordi du ikke har noen måte å skrive dem på! Dersom disse formlene bare inneholder brøker så har du å gjøre med rasjonale tall og røtter av tall som ikke er kvadrattall er IKKE rasjonelle. Dersom en tenkter seg at disse formlene skulle kunne inneholder logaritmer, trigonometriske funksjoner osv. er du jo like langt siden disse heller ikke er nøyaktige av den typen jeg antar du søker. F.eks så er sin(1) bare et symbol for det irrasjonale tallet som er tilnærmet lik 0,84147... på samme måte som ln(2) er lik et irrasjonalt tall som begynner slik 0,693147.... Da kunne formlene like gjerne inneholde symboler av typen [rot][/rot]3 og da er du tilbake til utgangspunktet.
Tenk litt over hva du egentlig mener med "finne formler for" og "regne ut" røtter.
Abel viste dessuten at den generelle femtegradligning (eller høyere ordener) ikke kan løses med de kjente regnearter INKLUDERT rotudragninger. Derfor hjelper det ikke å "finne formler" eller "regne ut" disse røttene. Mitt poeng er uansett at de formlene du søker ikke finnes rett og slett fordi du ikke har noen måte å skrive dem på! Dersom disse formlene bare inneholder brøker så har du å gjøre med rasjonale tall og røtter av tall som ikke er kvadrattall er IKKE rasjonelle. Dersom en tenkter seg at disse formlene skulle kunne inneholder logaritmer, trigonometriske funksjoner osv. er du jo like langt siden disse heller ikke er nøyaktige av den typen jeg antar du søker. F.eks så er sin(1) bare et symbol for det irrasjonale tallet som er tilnærmet lik 0,84147... på samme måte som ln(2) er lik et irrasjonalt tall som begynner slik 0,693147.... Da kunne formlene like gjerne inneholde symboler av typen [rot][/rot]3 og da er du tilbake til utgangspunktet.
Tenk litt over hva du egentlig mener med "finne formler for" og "regne ut" røtter.
Det er mulig å regne.
ax[sup]6[/sup] + cx[sup]4[/sup] + dx[sup]3[/sup] + ex[sup]2[/sup] + x + f = 0
Fordi vi kan alltid forkorte ligningen med rot utregningen.
Hvis vi vet alle primtallens rot utregninger. ( En måte å regne rot på uten maskin) Da kan vi regne alle slags ligninger !! Problemmet er at det finnes uendelige med primtall!!!
Fordi alle tall er bygget av primtall er det selvfølgelig ikke vits i å finne rot utregning av alle enn prim tall.
Feks. [sup]4[/sup][rot]a[/rot] er det samme som som om vi ta kvadrat roten av a to ganger!!!
ax[sup]6[/sup] + cx[sup]4[/sup] + dx[sup]3[/sup] + ex[sup]2[/sup] + x + f = 0
Fordi vi kan alltid forkorte ligningen med rot utregningen.
Hvis vi vet alle primtallens rot utregninger. ( En måte å regne rot på uten maskin) Da kan vi regne alle slags ligninger !! Problemmet er at det finnes uendelige med primtall!!!
Fordi alle tall er bygget av primtall er det selvfølgelig ikke vits i å finne rot utregning av alle enn prim tall.
Feks. [sup]4[/sup][rot]a[/rot] er det samme som som om vi ta kvadrat roten av a to ganger!!!
Nei, her har du nok misforstått. En likning av følgende type kan "forkortes" som du kaller det, eller forenkles, fordi den ikke inneholder alle ordener:Phi skrev:Det er mulig å regne.
ax[sup]6[/sup] + cx[sup]4[/sup] + dx[sup]3[/sup] + ex[sup]2[/sup] + x + f = 0
Fordi vi kan alltid forkorte ligningen med rot utregningen.
ax[sup]4[/sup] + bx[sup]2[/sup] + c = 0
Dette er faktisk bare en likning av andre grad, da med hensyn på x[sup]2[/sup].
Men den likningen du skrev opp over er en sjetteordens likning, som IKKE kan løses generelt. (Legg merke til ordet generelt)
Phi skrev:Jeg vet at det går an å regne likningen.
Her står det i klartekst at det er umulig. Ble bevist av Abel.mathworld.com skrev: Abel's Impossibility Theorem
In general, polynomial equations higher than fourth degree are incapable of algebraic solution in terms of a finite number of additions, subtractions, multiplications, divisions, and root extractions.
Hvis du vil ha bevis er det jo bare å slå opp i referansene som står under på den siden, blant annet denne boka:
N. H. Oeuvres Completes (Ed. L. Sylow and S. Lie). New York: Johnson Reprint Corp., pp. 66-87, 1988
Som du ser går beviset over 20 sider, og jeg tror neppe noen av oss ville forstå det uansett. Du er nødt til å kunne ganske mye først. Ved NTNU er det et fag hvor man på slutten arbeider seg opp på et nivå hvor man nesten kan nok til å lese beviset, tror det heter "Algebra og tallteori". (Jeg har ikke tatt det faget...)
N. H. Oeuvres Completes (Ed. L. Sylow and S. Lie). New York: Johnson Reprint Corp., pp. 66-87, 1988
Som du ser går beviset over 20 sider, og jeg tror neppe noen av oss ville forstå det uansett. Du er nødt til å kunne ganske mye først. Ved NTNU er det et fag hvor man på slutten arbeider seg opp på et nivå hvor man nesten kan nok til å lese beviset, tror det heter "Algebra og tallteori". (Jeg har ikke tatt det faget...)