matematikk.net

Jeg sliter litt med et ubestemt integral.

[symbol:integral] [tex]\frac1{cosx}[/tex]

Jeg har prøvd mye rart men ikke kommet noen vei. Noen som har noen tips?

Tommy H skrev:Jeg sliter litt med et ubestemt integral.

[symbol:integral] [tex]\frac1{cosx}[/tex]

Jeg har prøvd mye rart men ikke kommet noen vei. Noen som har noen tips?

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

TRUR dette integralet er ganske heavy...

Det er 3MX. Skal jo være løsbart.

Hmm.. Ettersom mine veldig lite elegante løsning viste seg å inneholde en banal feil, må jeg nesten bare henvise til innlegget under.

Og mens du venter så er 1/cos(x) en kjent identit: sec(x).
Den kan løses på denne måten, men nå skal jeg finne ut av min fine metode i tillegg:



http://www.math.com/tables/integrals/more/sec.htm

Trippelpost!

Men for en grunn: Her følger løsningsmetode som ble gjort i en matte-1-forelesning på NTNU, så den er ikke helt relatert til VGS, men dog. Den funker. I forelesningen ble det gjort for 1/sin(x). Bruker samme strategi for 1/cos(x).

[tex]1/cos(x) = \frac {cos(x)}{cos^2x} = \frac {cos(x)}{1-sin^2(x)}[/tex]

[tex]\int \frac {cos(x)}{1-sin^2(x)} dx[/tex]

u = sin (x)

[tex]du = cos(x)dx[/tex]

Dette gir oss da:

[tex]\int \frac {du}{1-u^2}[/tex]
Her kommer trikset: Dette er en kjent identitet. For at det ikke skal bli helt gresk utleder jeg den for deg: Her operer vi med "tangens hyperbolsk" en funksjon du vil stifte bekjentskap med senere. Det som er interessant er at derivasjon og integrasjon på hyperbolske funksjoner er veldig likt som på de trigonometriske.


[tex]y = tanh^{-1}(x)[/tex]
[tex]tanh(y) = \frac {sinh(y)}{cosh(y)} = x[/tex]

Deriverer:

[tex](\frac {cosh^2(y) - sinh^2(y)}{cosh^2(y)})\cdot \frac{dy}{dx} = (1 - tanh^2(y)) = 1 [/tex]

Ergo:

[tex]\frac {dy}{dx} = \frac {d}{dx}tanh^{-1}(x) = \frac {1}{1-tanh^2(y)}= \frac {1}{1-x^2}[/tex]

Så kan vi gå tilbake til integralet:

[tex]\int \frac{du}{1-u^2} = tanh^{-1}(u) + C = tanh^{-1}(sin(x)) + C[/tex]

Så kommer vi til noen definisjoner igjen, som jeg ikke vil utlede her, men hvertfall så er tanh^-1(x) definert som:

[tex]tanh^{-1}(x) = \frac {1}{2}ln(\frac {x+1}{1-x})[/tex]

Setter inn x = sin(x)

[tex]\frac {1}{2}ln(\frac {sin(x) + 1}{1- sin(x)})[/tex]

Mutlipliserer med (1+sin(x)) oppe og nede:

[tex]\frac {1}{2}ln(\frac {(sin(x) + 1)^2}{cos^2(x)})[/tex]

[tex]\frac {(sin(x) + 1)^2}{cos^2(x)} = tan^2(x) + 2tan(x)sec(x) + sec^2(x) = (tan(x) + sec(x))^2[/tex]

Ergo:

[tex]\frac {1}{2}ln(\frac {sin(x) + 1}{1-sin(x)}) = ln( (tan(x) + sec(x))^2)^{1/2} = ln( tan(x) + sec(x) ) + C [/tex]

Finito.....

Tommy H skrev:Jeg sliter litt med et ubestemt integral.

[symbol:integral] [tex]\frac1{cosx}[/tex]

Jeg har prøvd mye rart men ikke kommet noen vei. Noen som har noen tips?

Siden dette er 3MX nivå bestemmer jeg integralet forhåpentligvis på en "lettere" måte enn Magnus':

[tex]I\;=\int {dx\over cos(x)}[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]\int {cos(x)\over cos^2x}dx[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]\int {cos(x)\over 1-sin^2x}dx[/tex]

u = sin(x) , du = cos(x)dx

[tex]I\;=\int {du\over 1-u^2}[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]\int {du\over (1+u)(1-u)}[/tex]

kjører delbrøksoppspalting på dette:

[tex]{A\over 1+u}\;+\;{B\over 1-u}\;[/tex][tex]=\;{1\over 1-u^2}[/tex]

som gir A = B = 1/2

videre

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}\int {du\over 1+u}\;+[/tex][tex]\;{1\over 2}\int {du\over 1-u}[/tex]

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}ln(1+u)\;-[/tex][tex]\;{1\over 2}ln(1-u)\;+\;C[/tex]

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}ln({1+u)\over 1-u})\;+\;C[/tex]

til slutt


[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}ln[{1+sin(x)\over 1-sin(x)}]\;+\;C[/tex]

Joda fint nok det der. Er jo akkurat samme måten jeg løste den her på :
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... highlight=

Burde gjort det på den måten, men flere faktorer fikk meg til å fast bestemt få til denne.. så:)

I starten kan der også settes u = sin(x). Og en slipper å multiplisere oppe/nede med cos(x):

u = sin(x), du = cos(x)dx


[tex]\int {dx\over cos(x)}\;=\;[/tex][tex]\int {du\over cos^2(x)}\;=\;[/tex][tex]\int {du\over 1-sin^2(x)}\;=\;[/tex][tex]\int {du\over 1-u^2}[/tex]

osv...

Janhaa skrev:
videre

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}\int {du\over 1+u}\;+[/tex][tex]\;{1\over 2}\int {du\over 1-u}[/tex]

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}ln(1+u)\;-[/tex][tex]\;{1\over 2}ln(1-u)\;+\;C[/tex]

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}ln({1+u)\over 1-u})\;+\;C[/tex]

er det - mellom de leddene? hvorfor er det ikke pluss?

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}ln(1+u)\;+[/tex][tex]\;{1\over 2}ln(1-u)\;+\;C[/tex]

[tex](\ln(1-u))^\prime=-\frac1{1-u}[/tex]

Det var også et tidspunkt å dra fram denne på. Husk kjerneregelen!

Se her

I've been down that road before