matematikk.net

Posisjonen til to båter A og B ved tidspunktet t er gitt ved parameterfremstillingane

A: x = 60t og y = 100 + 180t

B: x = 900 – 40t og y = -100 + 200t

Der t er tallet på minutter. Enhetene på aksene er meter.

a) Hvordan kan du av parameterfremstillingen se at ingen av båtene endrer fartsretning? Hvor stor fart har de ?

b) Bruk skalarprodukt til å finne vinkelen mellom fartsretningene.

c) Kommer båtene til å krysse banene til hverandre? Kommer de til å kollidere ?

d) Finn vektoren fra båt A til båt B uttrykt ved t.

e) Regn ut avstanden mellom båtene og vis at han kan skrivest som: d = [symbol:rot] (850000-188000t+10400t^2)

f) Når er avstanden mellom båtene minst, og hvor stor er avstanden da ?


På forhånd takk.

a) Alle likningene i parameterfremstillingene er lineære. Da er linjene også rette, og ingen av båtene endrer fartsretning.

Vi vil finne farten til båtene. Parameterfremstillingene er lineære, og da er også farten konstant. Vi ser først på båt A.

På 1 minutt har A beveget seg 60 meter i x-retningen og 180 meter i y-retningen. Da har båten kjørt [tex]sqrt {60^2 + 180^2} \approx 190[/tex] meter. Altså er hastigheten 190 meter pr. minutt, eller 3,2 m/s.
Tilsvarende utregning med båt B. Farten er ca 3,4 m/s.

b) Vi setter a-vektor og b-vektor til å være retningsvektorene til båtene.

[tex]\v a = k \cdot \[60, 180\] = \[1, 3\][/tex]

[tex]\v b = k \cdot \[-40, 200\] = \[-1, 5\][/tex]

Da får vi [tex](\v a, \v b) = \cos^{-1}(\frac{1 \cdot (-1) + 3 \cdot 5}{sqrt{1^2 + 3^2} \cdot sqrt{(-1)^2 + 5^2}}) \approx 29,7^o[/tex]

c) Båtene vil nødvendigvis krysse hverandre en gang, fordi retningsvektorene ikke er parallelle. Det vi må finne ut, er om de kolliderer, og det medfører at de har lik t-verdi i krysningspunktet.

A: x = 60t og y = 100 + 180t
B: x = 900 – 40t og y = -100 + 200t

[tex]60t = 900 - 40t \Rightarrow t = 9[/tex]

[tex]100 + 180 \cdot 9 = 1720[/tex], [tex]-100 + 200 \cdot 9 = 1700[/tex]

De kommer ikke til å kollidere.

d) Finn vektoren fra båt A til båt B uttrykt ved t.

[tex]\v {AB} = \[B_x - A_x, B_y - A_y\] = \[900 - 100t, -200 + 20t\][/tex]

e) Regn ut avstanden mellom båtene og vis at han kan skrivest som: d = √ (850000-188000t+10400t^2)

Avstanten blir [tex]|\v{AB}| = sqrt{(900 - 100t)^2 + (-200 + 20t)^2} = sqrt{850000 - 188000t + 10400t^2}[/tex]

f) Gidder ikke å gjøre mer. Du vet at avstanten er [tex]f(x) = sqrt{850000 - 188000t + 10400t^2}[/tex]. Deriver for å finne toppunkt.

Noen som klarer f?

Har du prøvd selv da? sEirik gir deg jo løsningsmetoden sort på hvitt der. Få se ditt forslag, så skal jeg finne eventuelle feil.

Den deriverte blir i alle fall:

(10400x/( [symbol:rot] (662000+10400x^2)

Blir ikke x lik 0, da?

Ifølge kalkulatorens minimumsfunksjon, er x lik 9.03 og dermed blir y lik 19.6. Altså er den minste avstanden 20 meter?