9

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

9

Innlegg Kristin » 13/08-2004 23:18

Er det noen som har ei forklaring på hvorfor du kan ta ka som helst tall, gange det med 9, snu om på siffera i svaret slik du vil, og tallet er uansett delelig med 9? Og hvorfor du kan sette sammen siffera fra 1-9 slik du vil, og tallet er uansett delelig med 9? (0-9 også, tror jeg)?
Kristin offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 10
Registrert: 13/08-2004 18:46

Innlegg sletvik » 13/08-2004 23:47

Veldig pussig det der, har sikkert vært kjent lenge, men likevel artig. Det første som slår meg er at denne sammenhengen muligens kan bevises ved matematisk induksjon uten at jeg har planer om å prøve akkurat her og nå. Muligens er det noe tilnærmet dette:

http://mathworld.wolfram.com/RuleofNines.html
"Those of you who think you know everything are annoying to those of us who do!"
sletvik offline
Guru
Guru
Innlegg: 375
Registrert: 31/08-2003 03:34
Bosted: Trondheim

Innlegg Abeline » 14/08-2004 10:29

Svaret her ligger i at alle tall er kongruente med sin egen tverrsum (mod 9). Tverrsummen til et tall er summen av sifrene i tallet. At to tall er kongruente (mod 9) betyr at de to tallene får samme rest når du deler dem på 9. Tegnet for kongruens er "≡".

La oss se på et enkelt eksempel: 17
Tverrsummen til 17 er 1+7=8.
17=1*9+8, og det får altså resten 8 dividert med 9. Dette skriver vi som 17≡8(mod 9)

På samme måte: hvis et tall er delelig med 9, er også tverrsummen det. Tverrsummen er uendret når sifrene bytter plass, og det er egentlig svaret på spørsmålet ditt. Men det er mulig du og andre ønsker å se beviset?

Vi har et tall n, og definerer tverrsummen som T(n).

I titallssystemet, som er det tallsystemet vi vanligvis bruker, kan n skrives slik (a-ene er sifrene):
n=a[sub]m[/sub]10[sup]m[/sup]+a[sub]m-1[/sub]10[sup]m-1[/sup]+a[sub]m-2[/sub]10[sup]m-2[/sup]+...+a[sub]1[/sub]10[sup]1[/sup]+a[sub]0[/sub]

Vi vet at 10≡1(mod 9), og vi har derfor at
n=a[sub]m[/sub]10[sup]m[/sup]+a[sub]m-1[/sub]10[sup]m-1[/sup]+a[sub]m-2[/sub]10[sup]m-2[/sup]+...+a[sub]1[/sub]10[sup]1[/sup]+a[sub]0[/sub]≡a[sub]m[/sub]+a[sub]m-1[/sub]+a[sub]m-2[/sub]+...+a[sub]1[/sub]+a[sub]0[/sub]=T(n) Legg merke til kongruenstegnet i midten!!

Hvis altså tverrsummen til tallet er kongruent med 0 (mod 9), altså delelig med 9, vil også selve tallet være kongruent med 0 (mod 9).

(Hvis tverrsummen er et stort tall, kan du fortsette med tverrsummen av tverrsummen osv til du får et ensifret tall.)
Finn en syklisk firkant, og problemet er så godt som løst:)
Abeline offline
Guru
Guru
Innlegg: 85
Registrert: 22/05-2004 16:27
Bosted: Østlandet

Innlegg dischler » 03/09-2004 13:00

en mer forståelig måte å overbevise seg om dette (uten bruk av kongruenser) er dette:


Ta et tall, f.eks 378

Dette tallet kan vi manipulere slik:
378 = 3*100 + 7 * 10 + 8 = (3*99 + 3) + (7*9 + 7) + 8 = 3*11*9 + 7*1*9 + (3 + 7 + 8) = 9(3*11 + 7) + (3 + 7 + 8) = 9*A + T

Når du deller dette på 9 får du: (9*A + T)/9 = A + (T/9)

Dermed ser vi at vi får et helt tall ut av dette, bare dersem T er delelig med 9. Og ved å se på eksempelet ser vi at T er tverrsummen av tallet.


Dette var ikke et streng bevis, men burde være greit nok å følge. Og det er ikke vanskelig å gjøre det samme med tall med flere siffer :)
dischler offline
Guru
Guru
Innlegg: 242
Registrert: 01/03-2004 10:11

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 72 gjester