matematikk.net

Er det noen som har ei forklaring på hvorfor du kan ta ka som helst tall, gange det med 9, snu om på siffera i svaret slik du vil, og tallet er uansett delelig med 9? Og hvorfor du kan sette sammen siffera fra 1-9 slik du vil, og tallet er uansett delelig med 9? (0-9 også, tror jeg)?

Veldig pussig det der, har sikkert vært kjent lenge, men likevel artig. Det første som slår meg er at denne sammenhengen muligens kan bevises ved matematisk induksjon uten at jeg har planer om å prøve akkurat her og nå. Muligens er det noe tilnærmet dette:

http://mathworld.wolfram.com/RuleofNines.html

Svaret her ligger i at alle tall er kongruente med sin egen tverrsum (mod 9). Tverrsummen til et tall er summen av sifrene i tallet. At to tall er kongruente (mod 9) betyr at de to tallene får samme rest når du deler dem på 9. Tegnet for kongruens er "≡".

La oss se på et enkelt eksempel: 17
Tverrsummen til 17 er 1+7=8.
17=1*9+8, og det får altså resten 8 dividert med 9. Dette skriver vi som 17≡8(mod 9)

På samme måte: hvis et tall er delelig med 9, er også tverrsummen det. Tverrsummen er uendret når sifrene bytter plass, og det er egentlig svaret på spørsmålet ditt. Men det er mulig du og andre ønsker å se beviset?

Vi har et tall n, og definerer tverrsummen som T(n).

I titallssystemet, som er det tallsystemet vi vanligvis bruker, kan n skrives slik (a-ene er sifrene):
n=a[sub]m[/sub]10[sup]m[/sup]+a[sub]m-1[/sub]10[sup]m-1[/sup]+a[sub]m-2[/sub]10[sup]m-2[/sup]+...+a[sub]1[/sub]10[sup]1[/sup]+a[sub]0[/sub]

Vi vet at 10≡1(mod 9), og vi har derfor at
n=a[sub]m[/sub]10[sup]m[/sup]+a[sub]m-1[/sub]10[sup]m-1[/sup]+a[sub]m-2[/sub]10[sup]m-2[/sup]+...+a[sub]1[/sub]10[sup]1[/sup]+a[sub]0[/sub]≡a[sub]m[/sub]+a[sub]m-1[/sub]+a[sub]m-2[/sub]+...+a[sub]1[/sub]+a[sub]0[/sub]=T(n) Legg merke til kongruenstegnet i midten!!

Hvis altså tverrsummen til tallet er kongruent med 0 (mod 9), altså delelig med 9, vil også selve tallet være kongruent med 0 (mod 9).

(Hvis tverrsummen er et stort tall, kan du fortsette med tverrsummen av tverrsummen osv til du får et ensifret tall.)

en mer forståelig måte å overbevise seg om dette (uten bruk av kongruenser) er dette:


Ta et tall, f.eks 378

Dette tallet kan vi manipulere slik:
378 = 3*100 + 7 * 10 + 8 = (3*99 + 3) + (7*9 + 7) + 8 = 3*11*9 + 7*1*9 + (3 + 7 + 8) = 9(3*11 + 7) + (3 + 7 + 8) = 9*A + T

Når du deller dette på 9 får du: (9*A + T)/9 = A + (T/9)

Dermed ser vi at vi får et helt tall ut av dette, bare dersem T er delelig med 9. Og ved å se på eksempelet ser vi at T er tverrsummen av tallet.


Dette var ikke et streng bevis, men burde være greit nok å følge. Og det er ikke vanskelig å gjøre det samme med tall med flere siffer :)