matematikk.net

Heisann
Trenger hjelp med en oppgave anngående Bernoullis Lemniskate.
Oppgaven er som følger:
Vi betrakter et uttrykk som kalles bernoullis lemniskate
r= [symbol:rot] (2cos2Ө)
Finn koordinatene til kurvens skjæringspunkter med x aksen.
Bestem arealet som er avgrenset av lemniskaten (tips: regn ut en sløyfe først og vis at integrasjonsgrensene er - [symbol:pi] /4 og [symbol:pi] /4)
Står helt fast på denne, hadde satt stor pris på en steg for steg gjennomgang.
Takker for all hjelp.

Mvh
Brumble

Brumble skrev:Heisann
Trenger hjelp med en oppgave anngående Bernoullis Lemniskate.
Oppgaven er som følger:
Vi betrakter et uttrykk som kalles bernoullis lemniskate
r= [symbol:rot] (2cos2Ө)
Finn koordinatene til kurvens skjæringspunkter med x aksen.
Bestem arealet som er avgrenset av lemniskaten (tips: regn ut en sløyfe først og vis at integrasjonsgrensene er - [symbol:pi] /4 og [symbol:pi] /4)
Står helt fast på denne, hadde satt stor pris på en steg for steg gjennomgang.
Takker for all hjelp.
Mvh
Brumble

[tex]r=sqrt(2cos(2\theta)[/tex]


[tex]x=r\cdot cos(\theta)[/tex]

[tex]y=r\cdot sin(\theta)[/tex]


Skjæring med x-aksen når y = 0. Dvs.

[tex]sqrt{(2cos(2\theta)}\cdot sin(\theta)=0[/tex]


[tex] sin(\theta)=0\;eller\;cos(2\theta)=0[/tex]

konsentrerer om første likning:

[tex]\theta = 0, \pm \pi, \pm 2\pi,...[/tex]

som da gir [tex]\;x=\pm sqrt2[/tex]

Koordinatene til kurvens skjæringspkt. med x-aksen: [tex]\;(\pm sqrt2, 0)[/tex][tex]\;og\;(0,0)[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------
ObServerer y = 0 og [tex]\;sqrt{(2cos(2\theta)}=0[/tex]

[tex]2cos(2\theta)=0[/tex]

[tex]\theta=\pm {\pi\over 4}[/tex]

dvs integrasjonsgrensene fra [tex]\;{-\pi\over 4}\;til\;[/tex][tex] {\pi\over 4}[/tex]

----------------------------------------------------------------------------


[tex]A={1\over 2}\int_{c}r^2d\theta=[/tex][tex]\int_c {cos(2 \theta)}d \theta[/tex][tex]={1\over 2}sin(2\theta)|_{c} [/tex]

setter inn grensene:

[tex]A\;=\;{1\over 2}(1 - (-1))\;=\;1[/tex]

Tusen tusen takk for hjelpen

Janhaa skrev: Skjæring med x-aksen når y = 0. Dvs.

[tex]sqrt{(2cos(2\theta)}\cdot sin(\theta)=0[/tex]


[tex] sin(\theta)=0\;eller\;cos(2\theta)=0[/tex]

konsentrerer om første likning:

[tex]\theta = 0, \pm \pi, \pm 2\pi,...[/tex]

som da gir [tex]\;x=\pm sqrt2[/tex]

Koordinatene til kurvens skjæringspkt. med x-aksen: [tex]\;(\pm sqrt2, 0)[/tex][tex]\;og\;(0,0)[/tex]

Hei! Tar opp nok en gammel tråd. Dette er en eksamensoppgave jeg regner på... Lurer på om noen kan forklare hva han gjør her? Feks.; Hvor blir det av 2-tallet under kvadratrottegnet? Hvordan finner du u at 0,0 er et skjæringspunkt?

På forhånd takk for svar!

Hvis en multiplikasjon skal være 0, må en av faktorene være null. Dermed må:

[tex]sqrt{(2cos(2\theta)}=0 \\ \sin{\theta}=0[/tex]

I den første er det kun [tex]cos(2\theta)[/tex] som kan være null.
Ser du nå ?

Et spørsmål, Janhaa: Regner du med at kurven er mellom 0 og 2pi, sånn at man får med hele lemniskaten? For hvis det er den eksamensoppgaven så skal tetta være element i -pi/4 og pi/4 og da får man bare den høyre delen av den. Ser at du har funnet skjæringspunkter for den venstre siden også. Regnet også på arealet av denne høyre delen og fikk da samme svaret som deg og synes kanskje det var litt merkelig?