Summen av avvik fra gjennomsnittet

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Summen av avvik fra gjennomsnittet

Innlegg Eva » 29/08-2004 15:12

Hei!

Jeg skal vise at summen av avviket fra gjennomsnittet alltid vil være lik null. Jeg skjønner jo at det er sånn, men det blir litt vanskelig å vise det matematisk... :roll:

Mvh Eva :wink:
Eva offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 95
Registrert: 01/03-2004 16:18

Innlegg sletvik » 29/08-2004 15:46

Tror nok bruk av aksesystem er den letteste måten å forklare det på. Du kan jo se for deg Normalfordelingen (hvis du vet om den) og tenke deg at gjennomsnittet ligger på y-aksen. Da er avviket like stort på den negative siden av aksen som på den positive. Summen av disse sidene er jo lik 0. Det trenger ikke være grafen til Normalfordelingen, bare en graf som er like stor på begge siden av en akse, hvor aksen da representerer gjennomsnittet. :D
"Those of you who think you know everything are annoying to those of us who do!"
sletvik offline
Guru
Guru
Innlegg: 375
Registrert: 31/08-2003 03:34
Bosted: Trondheim

Innlegg Eva » 29/08-2004 16:52

Okei, nå fikk jeg det til :)
Tusen takk for hjelpa!
Mvh Eva Anita
Eva offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 95
Registrert: 01/03-2004 16:18

Innlegg dischler » 30/08-2004 14:31

Det blir jo ganske merkelig å "vise" dette med å starte med en fordelig som i utgangspunktet er symmetrisk om gjennomsnittet. Det du spør om er uavhanging om hvordan fordelingen er. Det kan vises slik:

gjennomsnittet er per definisjon (der det er n antall observasjoner):

G = (1/n)[sigma][/sigma]x[sub]i[/sub] = (1/n)(x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + ... + x[sub]n[/sub])

Spørsmålet ditt er om følgende sum er lik 0:

[sigma][/sigma](x[sub]i[/sub] - G) = (x[sub]1[/sub] - G ) + (x[sub]2[/sub] - G) + ... + (x[sub]n[/sub] - G) = er dette lik 0??

Dette er lett å vise ettersom vi får:

(x[sub]1[/sub] - G ) + (x[sub]2[/sub] - G) + ... + (x[sub]n[/sub] - G) = x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + ... + x[sub]n[/sub] - nG = (så setter jeg inn hva G er) = x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + ... + x[sub]n[/sub] - n*(1/n)(x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + ... + x[sub]n[/sub]) = 0

Dette har ingenting å gjøre med om det er normalfordelt eller symmetrisk av andre årsaker. Om du vil kan du godt se på denne egenskapen (at denne summen er lik 0) som en defisnisjon av gjennomsnitt.
dischler offline
Guru
Guru
Innlegg: 242
Registrert: 01/03-2004 10:11

Innlegg LGO » 30/08-2004 15:20

Om man viser ved hjelp av en graf at avviket fra gjennomsnittet er lik null, så vil ikke det dermed si at grafen er symmetrisk om aksen. Man kan selvfølgelig også vise dette algebraisk, men det er vel egentlig bare snakk om to forskjellige måter å vise det samme på. For noen så er visuelle bevis enklere å forstå, mens andre foretrekker det mer abstrakte. Dersom den ene aksen representerer gjennomsnittet, så vil arealet over og under aksen alltid være det samme.
"Det umulige er bare en midlertidig arbeidshypotese" (A. Næss)
LGO offline
Guru
Guru
Innlegg: 486
Registrert: 06/03-2004 12:43
Bosted: Tønsberg

Innlegg dischler » 02/09-2004 18:56

Hva sier du egentlig her? At dersom vi har en fordeling (som ikke er symmetrisk) så vil arealet under fordelingsfunksjonen til høyre for gjennomsnittet være lik arealet til venstre for gjennomsnittet? (slik som tilfellet er for symmetriske fordelingsfunksjoner, f.eks normalfordelingen)
dischler offline
Guru
Guru
Innlegg: 242
Registrert: 01/03-2004 10:11

Innlegg LGO » 03/09-2004 07:56

Det er ikke så lett å forklare hva jeg mener uten en tegning, men jeg skal forsøke. Som et eksempel, så bruker jeg sinuskurven. Denne er ikke symmetrisk om x-aksen, men hvis du regner ut integralet av funksjonen fra 0 til 2[pi][/pi], så er det lik null. Dersom x-aksen representerer gjennomsnittet, så vil alltid det bestemte integralet være lik null mellom to gitte punkter. [pi][/pi]
"Det umulige er bare en midlertidig arbeidshypotese" (A. Næss)
LGO offline
Guru
Guru
Innlegg: 486
Registrert: 06/03-2004 12:43
Bosted: Tønsberg

Innlegg dischler » 03/09-2004 08:12

du mener vel y-aksen her (gitt den vanlige konvensjonen med å la funksjonsverdien f(x) være lik y, altså y=sin(x) ). Selv om sinuskurven ikke er symmetrisk om y-aksen så er den i det minste antisymmetrisk, og det er periodisiteten som gjør at ditt integral er 0.

Poenget er at dette uansett er noe ganske annet enn den opprinnelige oppgaven. Dette har ingenting å gjøre med at summen av avvik fra gjennomsnittet er lik null. Arealene på hver side av gjennomsnittet behøver ikke være like store. Eller har jeg misforstått poenget ditt?
dischler offline
Guru
Guru
Innlegg: 242
Registrert: 01/03-2004 10:11

Innlegg LGO » 03/09-2004 09:15

Ja, jeg er klar over at sinuskurven er periodisk, og derfor var den ikke det aller beste eksemplet, men så lenge jeg ikke kunne lage en skisse, så brukte jeg den.

Dersom avviket fra gjennomsnittet tegnes som en graf rundt en linje som representerer gjennomsnittet, så vil man kunne beregne det bestemte integralet for dette området, til å bli lik null uansett. Det var dette jeg ville fram til, og som dermed viser at summen av avvik fra gjennomsnittet er lik null.

Vet ikke om jeg klarte å forklare meg noe bedre nå.. ikke alltid lett å forklare visuelle ting med ord..hehe
"Det umulige er bare en midlertidig arbeidshypotese" (A. Næss)
LGO offline
Guru
Guru
Innlegg: 486
Registrert: 06/03-2004 12:43
Bosted: Tønsberg

Innlegg ThomasB » 03/09-2004 11:27

Linda G. Opheim skrev:Dersom avviket fra gjennomsnittet tegnes som en graf rundt en linje som representerer gjennomsnittet, så vil man kunne beregne det bestemte integralet for dette området, til å bli lik null uansett. Det var dette jeg ville fram til, og som dermed viser at summen av avvik fra gjennomsnittet er lik null.


Jeg er enig at integralet blir 0, men det er ikke noe bevis å bare "påstå" at det er slik. Utsagnet er rett og slett ekvivalent med det som skal bevises, men ikke noe mer grunnleggende. For å bevise noe må man gå ut fra en definisjon (slik dischler gjorde algebraisk over her).

Nå kan de hende at kravet til bevis i f.eks. denne oppgaven ikke er så strengt, og at man bare skal gi en intuitiv forklaring på hvorfor det er slik. Da kan det være greit å komme med slike geometriske betraktninger.
ThomasB offline
Guru
Guru
Innlegg: 257
Registrert: 18/03-2004 18:34

Innlegg LGO » 03/09-2004 12:18

Ja, jeg må nok si meg enig i at det ikke er et bevis. Men det er ofte en god måte å se at utsagnet stemmer på.:)
"Det umulige er bare en midlertidig arbeidshypotese" (A. Næss)
LGO offline
Guru
Guru
Innlegg: 486
Registrert: 06/03-2004 12:43
Bosted: Tønsberg

Innlegg dischler » 03/09-2004 12:36

ok. Noe av mitt poeng er dessuten at skal man forstå noe grafisk så må man være nøye med hvilken graf man ser på.
Ser man på fordelingsfunksjonen så kan man ikke lett få en intuitiv forståelse av at summen av avvikene fra gjennomsnittet er lik 0 (med mindre fordelingsfunksjonen er symmetrisk om gjennomsnittet).
Lager man seg derimot en graf av den typen du beskriver (en som vikler seg rundt gjennomsnittet som er satt til å være x-aksen, eller en linje parallell med denne) må man være klar over at aksene er nokså forskjellig fra fordelingsfynksjonen. Y-aksen til denne grafen er den opprinnelige x-aksen (i fordelingsfunksjonen), mens den nye x-aksen er det ubestemte integralet av den opprinnelige fordelingsfunksjonen. Kort sagt: din graf er integralet av fordelingsfunksjonen.
Mitt poeng er at med mindre man regner ut dette integralet, så er det vanskelig å tegne denne funksjonen (med mindre den er meget enkel). Og siden det stort sett alltid er fordelingsfunksjonen som er kjent så forsvinner vel noe av intuisjonen når man må regne først...

puuh... ble en del skriving her, men måtte bare ha fram forskjellen mellom disse, hvis noe skulle være uklart.
dischler offline
Guru
Guru
Innlegg: 242
Registrert: 01/03-2004 10:11

Innlegg Eva » 04/09-2004 19:25

dischler skrev:
gjennomsnittet er per definisjon (der det er n antall observasjoner):

G = (1/n)[sigma][/sigma]x[sub]i[/sub] = (1/n)(x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + ... + x[sub]n[/sub])

Spørsmålet ditt er om følgende sum er lik 0:

[sigma][/sigma](x[sub]i[/sub] - G) = (x[sub]1[/sub] - G ) + (x[sub]2[/sub] - G) + ... + (x[sub]n[/sub] - G) = er dette lik 0??

Dette er lett å vise ettersom vi får:

(x[sub]1[/sub] - G ) + (x[sub]2[/sub] - G) + ... + (x[sub]n[/sub] - G) = x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + ... + x[sub]n[/sub] - nG = (så setter jeg inn hva G er) = x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + ... + x[sub]n[/sub] - n*(1/n)(x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + ... + x[sub]n[/sub]) = 0



Det var denne løsninga oppgaven var ute etter. Men for kun å forstå hvorfor det er summen er null, er det bedre å se for seg en graf eller et slags diagram. Synes jeg ihverfall :) Det ble litt mange bokstaver i beviset, skjønner det ikke helt enda. Så jeg får nok studere det og prøve som best jeg kan å skjønne det.
Tusen takk for veldig gode svar!

Mvh Eva
Eva offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 95
Registrert: 01/03-2004 16:18

Innlegg dischler » 05/09-2004 14:02

joa.. men poenget her var at det er mange fallgruver når du velger en grafisk overbevisningsmetode. Først må du sørge for at du velger en graf som er generell nok - altså at du ikke velger en som f.eks er symmetrisk om gjennomsnittet slik som normalfordelingen. Dessuten må du være nøye så du ikke tolker feil - f.eks at du sier at "avviket fra gjennomsnittet er null fordi arealene på hver side av gjennomsnittet i fordelingsfunksjonen er like" ettersom dette ikke er sant! Og som jeg sa i innlegget over så må man være klar over at fordelingsfunksjonen er noe annet enn "avvik-fra-gjennomsnittsfunksjonen" som Linda G. Opheim innførte. Det hun skriver er riktig, men jeg måtte bare presisere forskjellen her :)

Til slutt må jeg også få bemerke at mange ting klarer man ikke å se grafisk, men kan bare forstås analytisk. Men for all del, det å lage figurer i hodet og se på grafiske bilder av problemer er ofte en av de beste teknikkene i å forstå matematikk så fortsett med det! bare husk at det er mulig å tråkke feil! :)
dischler offline
Guru
Guru
Innlegg: 242
Registrert: 01/03-2004 10:11

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 78 gjester