Læreren nevnte i dag at det ville gå mye hurtigere å løse en integrasjonsoppgave dersom vi kunne noe han kalte for "totalt differensial?"
Hva er dette egentlig for noe?
"Totalt differensial"
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Vet ikke helt om du har forutsetningene for å få tak på dette, kan bli tungt dersom du ikke har noen bakgrunn i multivariabel kalkulus, men kan jo prøve å forklare det enkleste tilfellet.
For en funksjon av 2 variable [tex]u=u(x,y)[/tex] som har kontinuerlige partielle deriverte sier vi at differensialet, eller det totale differensialet, er
[tex]du=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{u}}{\partial{y}}dy[/tex]. Dette kan enkelt generaliseres til vilkårlig mange(men endelig antall) dimensjoner.
Sammenhengen med differensialligninger er flg:
Anta du har en diff.lign som kan skrives på formen [tex]A(x,y)dx+B(x,y)dy=0[/tex]. Dette kalles forøvring en eksakt diff.lign. dersom differensialformen [tex]A(x,y)dx+B(x,y)dy[/tex] er eksakt. Dvs at differensialet [tex]du=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{u}}{\partial{y}}dy[/tex] stammer fra en funksjon [tex]u(x,y)[/tex].
Hvis vi er i denne situasjonen kan vi skrive hele differensialligningen
[tex]du=0[/tex]. Da følger det direkte at løsningen er [tex]u(x,y)=c[/tex], hvor c er en konstant.
Ved sammenligning finner vi at den opprinnelige differensialligningen er eksakt dersom det finnes en funksjon [tex]u=u(x,y)[/tex] slik at
[tex]\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=A(x,y)[/tex] og
[tex]\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=B(x,y)[/tex].
Disse ligningene kan vi da integrere opp og bestemme løsningen.
En annen ting vi kan merke oss ganske raskt er om vi antar at [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] er definert og har kontinuerlige første ordens partielle deriverte i et domene av xy-planet(som skal ha en lukket grense som ikke skjærer seg selv), så må [tex]\frac{\partial{A}}{\partial{y}}=\frac{\partial{B}}{\partial{x}}[/tex].
Noen som vet hvorfor?
For en funksjon av 2 variable [tex]u=u(x,y)[/tex] som har kontinuerlige partielle deriverte sier vi at differensialet, eller det totale differensialet, er
[tex]du=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{u}}{\partial{y}}dy[/tex]. Dette kan enkelt generaliseres til vilkårlig mange(men endelig antall) dimensjoner.
Sammenhengen med differensialligninger er flg:
Anta du har en diff.lign som kan skrives på formen [tex]A(x,y)dx+B(x,y)dy=0[/tex]. Dette kalles forøvring en eksakt diff.lign. dersom differensialformen [tex]A(x,y)dx+B(x,y)dy[/tex] er eksakt. Dvs at differensialet [tex]du=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{u}}{\partial{y}}dy[/tex] stammer fra en funksjon [tex]u(x,y)[/tex].
Hvis vi er i denne situasjonen kan vi skrive hele differensialligningen
[tex]du=0[/tex]. Da følger det direkte at løsningen er [tex]u(x,y)=c[/tex], hvor c er en konstant.
Ved sammenligning finner vi at den opprinnelige differensialligningen er eksakt dersom det finnes en funksjon [tex]u=u(x,y)[/tex] slik at
[tex]\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=A(x,y)[/tex] og
[tex]\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=B(x,y)[/tex].
Disse ligningene kan vi da integrere opp og bestemme løsningen.
En annen ting vi kan merke oss ganske raskt er om vi antar at [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] er definert og har kontinuerlige første ordens partielle deriverte i et domene av xy-planet(som skal ha en lukket grense som ikke skjærer seg selv), så må [tex]\frac{\partial{A}}{\partial{y}}=\frac{\partial{B}}{\partial{x}}[/tex].
Noen som vet hvorfor?
Integrasjonsoppgaver bruker det samme, bare "andre veien".Takk for utfyllende svar. Men gjelder det bare integrasjon av differensial ligninger?
F.eks det går an å integrere dette utrykket ved denne metoden? (som jeg ellers ville integrert ved hjelp av delvis integrasjon)?
[symbol:integral] 2x [symbol:rot] (2x^2+1)dx
F.eks det går an å integrere dette utrykket ved denne metoden? (som jeg ellers ville integrert ved hjelp av delvis integrasjon)?
[symbol:integral] 2x [symbol:rot] (2x^2+1)dx
Han lurte vel på hvordan han kunne bruke differensialer for å beregne integralet, selv om substitusjon fungerer fint. Det man bør gjøre er å danne et differensial inne i integralet, tror jeg. Har aldri begregnet det slik selv før, men antar det er noe ala det man gjør i delvis integrasjon(hvor man bytter differensial egentlig, hvis du kjenner hele bakgrunnen for "formelen"), men differensialer er ikke så hjelpsomt i 1 variabel(mener jeg iallefall) som det er i flere