HJELP C(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 ?

[Theo]

En bedrift regner med at produksjonsutgiftene for et bestemt produkt kan utrykkes som en kubisk funksjon:

C(x) = a[sub]3[/sub] x[sup]3[/sup] + a[sub]2[/sub] x[sup]2[/sup] + a[sub]1[/sub] x + a[sub]0[/sub]

Hvor x er antall produserte enheter. Bedriften har funnet følgende sammenheng mellom kostnader og produksjonsmengde:

------------------------------------------
x___| __0| __20 | __50 | _100 |
------------------------------------------
C(x) | 500 | 3960 | 4200 | 8000|
------------------------------------------

a) Bruk tallene i tabellen til å bestemme a[sub]0[/sub], a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub] og a[sub]3[/sub].

Fasiten har følgende løsning:
a) C(x) = 0,04515 x[sup]3[/sup] – 6,205 x[sup]2[/sup] + 280,5 x +500

Med andre ord:
(a[sub]0[/sub]) = 500, (a[sub]1[/sub]) = 280,5, (a[sub]2[/sub]) = -6,205 og (a[sub]3[/sub]) = 0,04515.

Jeg lurer på hvordan man kommer frem til svaret, har prøvd i to dager nå, uten å komme på fremgangsmåten.

Med vennlig hilsen Theo. Beklager så meget for at jeg har lagt ut denne meldingen før, men da viste jeg ikke hvordan jeg skulle skrive små og store tall.

[PeerGynt]

Hallo Theo,

Bare sett inn verdiene fra tabellen i funksjonsuttrykket. La oss starte med x=0:

C(0) = a3*0 + a2*0 + a1*0 +a0 = a0
og ettersom tabellen sier at C(0) = 500 så foelger det at a0 = 500.

Sett nå inn for alle de andre verdiene, så ser du at du ender opp med et sett av ligninger. Du har fire ukjente (a0, a1, a2 og a3), og når du setter inn verdiene ender du opp med fire ligninger.

F.eks. setter inn for x=50:
C(50) = a3*50[sup]3[/sup] + a2*50[sup]2[/sup] + a1*50 + 500 = 3960

Ligningssystemet loeses kanskje enklest ved matriseregning, men det vet jeg ikke om du har laert enda?
_

[Theo]

Men hvordan kan jeg finne ut av hva: a[sub]o[/sub]=?, a[sub]1[/sub]=?, a[sub]2[/sub] og a[sub]3[/sub]=?.

Med vennlig hilsen Theo.

[PeerGynt]

Dersom vi gjoer som beskrevet over kan formulere oppgaven som foelger:

Loes ligingssytemet:

a0 = 500
a3*20[sup]3[/sup] + a2*20[sup]2[/sup] + a1*20 + a0 = 3960
a3*50[sup]3[/sup] + a2*50[sup]2[/sup] + a1*50 + a0 = 4200
a3*100[sup]3[/sup] + a2*100[sup]2[/sup] + a1*100 + a0 = 8000

Dersom du er usikker på hvordan du loeser n ligninger med n ukjente på tradisjonelt vis kan du repetere denne siden:
Ligninger med to ukjente

Dersom du skal loese ved matriseregning går det nå kankje klarere fram hvordan problemet kan stilles opp?

_

[Theo]

Jeg takker så meget for svaret. Men jeg lurer fortsatt på hvordan jeg kommer frem til disse svarene:
(a0) = 500, (a1) = 280,5, (a2) = -6,205 og (a3) = 0,04515.


Hilsen Theo

[PeerGynt]

Ved matriseregning?

[PeerGynt]

Jaha - det er kankje ikke en eksakt loesning her (har ikke regnet ut). Er dette en oppgave i regressjon/interpolering? Det er i såfall uvanlig å bruke "bestemme" istedetfor f.eks. "anslå".

_

[oro2]

Det er en eksakt løsning på ligningssystemet:
a0 = 500
a3*20[sup]3[/sup] + a2*20[sup]2[/sup] + a1*20 + a0 = 3960
a3*50[sup]3[/sup] + a2*50[sup]2[/sup] + a1*50 + a0 = 4200
a3*100[sup]3[/sup] + a2*100[sup]2[/sup] + a1*100 + a0 = 8000

Den er:
a0 = 500
a1 = 561/2
a2 = -1241/200
a3 = 83/2000

[Theo]

Denne oppgaven, er gitt på side 136 i matte boken jeg bruker, matrise regning blir ikke omhandlet i matte boken før side 494.
Prøvde å lese på det, men forstod ikke så mye av det akkurat nå.

Takker så meget for hjelpen.

[Theo]

1000 takk oro2.

[oro2]

Du trenger ikke bruke matriser for å løse et ligningssett med såpass få ligninger og ukjente. Løs en ligning mhp den ene ukjente, sett inn i de to andre ligningene, da har du redusert systemet til to ligninger med to ukjente (som du sikkert er vant til å løse)


(endret: skrivefeil)

[Theo]

1000 takk PeerGynt.

hilsen Theo.

[Theo]

Oro2, du har reddet dagen.
Du klarte å forklare meg eksakt hva jeg skal gjøre, og det er jeg utrolig takknemlig for.

Hilsen Theo.