matematikk.net

[symbol:integral] Cos^3x dx

Kjører delvis.

[tex]I = \int \cos^3 x dx = \int \cos x \cdot \cos^2 x dx[/tex]

[tex]u^\prime = \cos x[/tex] [tex]v = \cos^2 x[/tex]

[tex]u = \sin x[/tex] [tex]v^\prime = - 2 \cos x \cdot \sin x[/tex]

[tex]I = \cos^2 x \cdot \sin x - \int -2(\cos x \cdot \sin^2 x) dx[/tex]

[tex]I = \cos^2 x \cdot \sin x + 2J[/tex]

[tex]J = \int \cos x \cdot \sin^2 x dx[/tex]

Kjører substitusjon.

[tex]u = \sin x[/tex], [tex]u^\prime = \cos x[/tex]

[tex]J = \int u^\prime \cdot u^2 dx = \int u^2 du = \frac{1}{3}u^3 + C = \frac{1}{3}\sin^3 x + C[/tex]

Setter inn:

[tex]I = \cos^2 x \cdot \sin x + \frac{2}{3}\sin^3 x + C[/tex]

Så kan du evt. forenkle mer selv.

[tex]\cos^2 x = 1-\sin^2 x\\\cos^3x = \cos x(1-\sin^2x)\\u = \sin x \\ \frac{du}{dx} = \cos x[/tex]

Vil absolutt anbefale substitusjon slik som eg skrev. Den gir mykje mindre arbeid, selv om du delvis integrasjon og fører deg til mål.

Det er klart, men alle veier fører til Rom
Dessuten var jeg først

Er ikke [symbol:integral] cos^2x
lik [symbol:integral] (cosx)^2
som igjen gir omvendte kjerneregel som gir
1/3*(cosx)^3*sinx

Er ikke det rett formulert?!

Du kan dessverre ikke bruke kjerneregelen omvendt på den måten. For integrasjon må du bruke variabelskifte.

damnit, hvorfor ikke? :O
men cos^2x=(cosx)^2 ?

Ja, det stemmer:

[tex]\cos^2 x = (\cos x)^2[/tex]

Du kan ikke bruke kjerneregelen omvendt sånn, fordi det ikke er noe som tyder på at du kan det. Det blir som å hoppe i fallskjerm med et håndkle som fallskjerm og ikke vite helt sikkert om det vil fungere. Les om variabelskifte du, så skjønner du

jammen
Jaja må vell lese om variabelskifte ser det ut til!

Men cos^2x=1-sin^2x
Da sitter jeg med det som det jeg skal integrere.
Hvis jeg da velger u som sinx får jeg
x-0.33(u)^3 jeg kan ikke se hvorfor jeg skal dele på noe da`?!

du får [tex]\int (1 - u^2) dx[/tex], og det integralet kan du ikke evaluere før du får bort dx og får inn du. Da må du få inn u' i bildet, som her blir cos x, og da får du ikke likningen over på riktig form. Men integralet av cos^3 kan du finne sånn, for da er jo cos en faktor.

ja det jeg tenkte
men av ren nysgerrighet kan du løse (cosx)^2
?

lasolas skrev:ja det jeg tenkte
men av ren nysgerrighet kan du løse (cosx)^2
?

Jupp.

[tex]\int \cos^2 x = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin 2x) + C[/tex]

Fremgangsmåte kommer en annen gang. Det du gjør er å skrive om, ved å bruke at

[tex]\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x[/tex]

sEirik skrev:

lasolas skrev:ja det jeg tenkte
men av ren nysgerrighet kan du løse (cosx)^2
?

Jupp.

[tex]\int \cos^2 x = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin 2x) + C[/tex]

Fremgangsmåte kommer en annen gang. Det du gjør er å skrive om, ved å bruke at

[tex]\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x[/tex]

Hehe jeg får vente på fremgangsmåten Hadde matte heldags idag og lurte bare på hvordan jeg skulle gjøre det , siden jeg gjorde feil på den oppgaven. Men trur det ellers gikk bra :p
btw takk for alle svar:)

[tex]I = \int \cos^2 x dx[/tex]

[tex]\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x)[/tex]

[tex]\cos 2x = 2\cos^2x - 1[/tex]

[tex]\cos^2x = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}[/tex]

Da får du

[tex]I = \int (\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}) dx[/tex]

Da klarer du vel resten?