Trenger hjelp med denne oppgaven
La m være et positivt rasjonelt tall. Bevis at m+1/m er et heltall bare for m=1
Bevis
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
La [tex]m = a/b[/tex] der [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er naturlige tall som er innbyrdes primiske (betyr at brøken [tex]m[/tex]
er maksimalt forkortet). Da blir
[tex](1) \;\; m \:+\: \frac{1}{m} \;=\; \frac{a}{b} \:+\: \frac{b}{a} \;=\; \frac{a^2 \:+\:b^2}{ab}.[/tex]
Så for at [tex]m \,+\, 1/m[/tex] skal være et heltall, må [tex]a|b^2[/tex] og [tex]b|a^2[/tex], som igjen medfører at [tex]a=b=1[/tex] ettersom [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er innbyrdes primiske. M.a.o. er [tex]m \,+\, 1/m[/tex] et heltall hvis og bare hvis [tex]m = 1[/tex].
NB: [tex]y|x[/tex] betyr at [tex]x[/tex] er delelig med [tex]y[/tex].
er maksimalt forkortet). Da blir
[tex](1) \;\; m \:+\: \frac{1}{m} \;=\; \frac{a}{b} \:+\: \frac{b}{a} \;=\; \frac{a^2 \:+\:b^2}{ab}.[/tex]
Så for at [tex]m \,+\, 1/m[/tex] skal være et heltall, må [tex]a|b^2[/tex] og [tex]b|a^2[/tex], som igjen medfører at [tex]a=b=1[/tex] ettersom [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er innbyrdes primiske. M.a.o. er [tex]m \,+\, 1/m[/tex] et heltall hvis og bare hvis [tex]m = 1[/tex].
NB: [tex]y|x[/tex] betyr at [tex]x[/tex] er delelig med [tex]y[/tex].
Jeg liker å kaste meg på disse bevisoppgavene jeg også. Ser selvfølgelig at Solar Plexus allerede har gjort et veldig godt bevis her. Så jeg legger ikke til dette for at det er bedre (noe det ikke er..), men bare viser en annen måte å løse det på, pluss at jeg lurer inn noen viktige aspekter innenfor elementær tallteori.
Hvis dette skal være tilfelle har vi at:
[tex]m + \frac {1}{m} = N\ (N\in\mathbb {N})[/tex]
[tex]m^2 + 1 = N*m \Longrightarrow m^2 - N*m + 1 = 0[/tex]
Løser dette ved vanlig andregradsformel:
[tex]m = \frac {N \pm \sqrt {N^2 - 4}}{2}[/tex]
Vi vet at vår m skal være rasjonell, og da må følgelig også [tex]\sqrt {N^2 - 4}[/tex] være rasjonelt. Det er kjent at hvis N er et naturlig heltall, som ikke er perfekt kvadrat, så vil kvadratroten til dette tallet være irrasjonelt. Det vi da må vise er at [tex]N^2 - 4[/tex] ikke kan være et kvadrattall, for andre N enn 2.
2 varianter:
1) Vi skriver det om til: [tex]N^2 - R^2 = 4[/tex] der R er det søkte kvadrattall.
Dette gir da: [tex](N-R)(N+R) = 1*4 = 2*2[/tex]
Første faktoriseringen gir oss at N-R = 1 og (N+R) = 4. Noe som gir oss at N=2 og R=1. Det andre tilfelle gir oss at disse skal være like, noe som er en umulighet m.m R=0.
Vi har dermed bevist at dette ikke kan være et kvadrattall for [tex]N\neq 2[/tex].
2)
Du kan legge merke til hvor raskt kvadrattallene stiger. Slik at [tex]16-9 = 7 > 4[/tex]. [tex]25-16 = 9 > 4[/tex]. [tex]36 - 25 = 11[/tex]. [tex]49-36 = 13[/tex]. Du ser kanskje et mønster her? For det første er 4 for lite til at du kan trekke det fra, og en annen artighet er at alle differansene er etterfølgende oddetall. Så delen med at [tex]N^2 - 4[/tex] skulle være et kvadrattall er egentlig rimelig triviell. Men la oss se litt mer på det som oppstod rundt det.
i) Bevise at differansen øker.
Definerer funksjonen [tex]f(x) = x - (x-1)^2[/tex]. Deriverer denne og ser at:
[tex]f^\prime (x) = 2x - 2(x-1) = 2x - 2x + 2 = 2[/tex]. Den deriverte er alltid positiv og følgelgi vil den alltid stige(med 2 - se oppgave 1).
ii) Vise at differansen mellom to etterfølgende kvadrattall vil være et oddetall.
Dette følger ganske greit av det faktum at to etterfølgende kvadrattall vil være et oddetall og et partall: [tex](x+1)^2 - x^2 = 2x + 1[/tex] og vi er ferdige.
For en som har drevet litt med tallteori før er dette selvfølgelig opplagt matematikk, men for den som ennå ikke har drevet noe med det - vil jeg nesten tro at dette kan gi et lite innblikk i noen få teknikker som kan anvendes.
Oppgave: Vis tallteoretisk at differansen mellom to kvadrattall vil være det oddetall som er etterfølgende til differansen av de to foregående etterfølgende kvadrattall.
Eksempel: [tex]2^2 - 1^2 = 3[/tex]
[tex]3^2 - 2^2 = 5[/tex]
[tex]4^2 - 3^2 = 7[/tex]
Osv.
Oppgave 2) (For de som ønsker utfordring)
Avgjør om det finnes en uendelig følge [tex]a_1,a_2,a_3..[/tex] av positive heltall slik at for alle [tex]n\geq 1[/tex] er summen [tex]a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2[/tex] et kvadrattall..
For den som lurte på hvordan jeg kan si at så lenge N ikke er et perfekt kvadrat vil kvadratroten av N være irrasjonell. Sjekk ut: http://realisten.com/smf/index.php?topic=20.0
Og som et siste addendum:
Løs oppgaven slik Solar-Plexus gjorde det, det ville jeg også gjort.
Hvis dette skal være tilfelle har vi at:
[tex]m + \frac {1}{m} = N\ (N\in\mathbb {N})[/tex]
[tex]m^2 + 1 = N*m \Longrightarrow m^2 - N*m + 1 = 0[/tex]
Løser dette ved vanlig andregradsformel:
[tex]m = \frac {N \pm \sqrt {N^2 - 4}}{2}[/tex]
Vi vet at vår m skal være rasjonell, og da må følgelig også [tex]\sqrt {N^2 - 4}[/tex] være rasjonelt. Det er kjent at hvis N er et naturlig heltall, som ikke er perfekt kvadrat, så vil kvadratroten til dette tallet være irrasjonelt. Det vi da må vise er at [tex]N^2 - 4[/tex] ikke kan være et kvadrattall, for andre N enn 2.
2 varianter:
1) Vi skriver det om til: [tex]N^2 - R^2 = 4[/tex] der R er det søkte kvadrattall.
Dette gir da: [tex](N-R)(N+R) = 1*4 = 2*2[/tex]
Første faktoriseringen gir oss at N-R = 1 og (N+R) = 4. Noe som gir oss at N=2 og R=1. Det andre tilfelle gir oss at disse skal være like, noe som er en umulighet m.m R=0.
Vi har dermed bevist at dette ikke kan være et kvadrattall for [tex]N\neq 2[/tex].
2)
Du kan legge merke til hvor raskt kvadrattallene stiger. Slik at [tex]16-9 = 7 > 4[/tex]. [tex]25-16 = 9 > 4[/tex]. [tex]36 - 25 = 11[/tex]. [tex]49-36 = 13[/tex]. Du ser kanskje et mønster her? For det første er 4 for lite til at du kan trekke det fra, og en annen artighet er at alle differansene er etterfølgende oddetall. Så delen med at [tex]N^2 - 4[/tex] skulle være et kvadrattall er egentlig rimelig triviell. Men la oss se litt mer på det som oppstod rundt det.
i) Bevise at differansen øker.
Definerer funksjonen [tex]f(x) = x - (x-1)^2[/tex]. Deriverer denne og ser at:
[tex]f^\prime (x) = 2x - 2(x-1) = 2x - 2x + 2 = 2[/tex]. Den deriverte er alltid positiv og følgelgi vil den alltid stige(med 2 - se oppgave 1).
ii) Vise at differansen mellom to etterfølgende kvadrattall vil være et oddetall.
Dette følger ganske greit av det faktum at to etterfølgende kvadrattall vil være et oddetall og et partall: [tex](x+1)^2 - x^2 = 2x + 1[/tex] og vi er ferdige.
For en som har drevet litt med tallteori før er dette selvfølgelig opplagt matematikk, men for den som ennå ikke har drevet noe med det - vil jeg nesten tro at dette kan gi et lite innblikk i noen få teknikker som kan anvendes.
Oppgave: Vis tallteoretisk at differansen mellom to kvadrattall vil være det oddetall som er etterfølgende til differansen av de to foregående etterfølgende kvadrattall.
Eksempel: [tex]2^2 - 1^2 = 3[/tex]
[tex]3^2 - 2^2 = 5[/tex]
[tex]4^2 - 3^2 = 7[/tex]
Osv.
Oppgave 2) (For de som ønsker utfordring)
Avgjør om det finnes en uendelig følge [tex]a_1,a_2,a_3..[/tex] av positive heltall slik at for alle [tex]n\geq 1[/tex] er summen [tex]a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_n^2[/tex] et kvadrattall..
For den som lurte på hvordan jeg kan si at så lenge N ikke er et perfekt kvadrat vil kvadratroten av N være irrasjonell. Sjekk ut: http://realisten.com/smf/index.php?topic=20.0
Og som et siste addendum:
Løs oppgaven slik Solar-Plexus gjorde det, det ville jeg også gjort.
Forstod ikke helt dette. BeklagerSolar Plexsus skrev:La [tex]m = a/b[/tex] der [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er naturlige tall som er innbyrdes primiske (betyr at brøken [tex]m[/tex]
er maksimalt forkortet). Da blir
[tex](1) \;\; m \:+\: \frac{1}{m} \;=\; \frac{a}{b} \:+\: \frac{b}{a} \;=\; \frac{a^2 \:+\:b^2}{ab}.[/tex]
Så for at [tex]m \,+\, 1/m[/tex] skal være et heltall, må [tex]a|b^2[/tex] og [tex]b|a^2[/tex], som igjen medfører at [tex]a=b=1[/tex] ettersom [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er innbyrdes primiske. M.a.o. er [tex]m \,+\, 1/m[/tex] et heltall hvis og bare hvis [tex]m = 1[/tex].
NB: [tex]y|x[/tex] betyr at [tex]x[/tex] er delelig med [tex]y[/tex].
Hvorfor medfører det at a/b^2 og b/a^2 at a=1 og b=1?Når to tall er innbyrdes primiske, betyr det at de ikke har noen felles faktorer. Det innebærer at ingen av tallene deler hverandre, og da vil heller ikke kvadratet av det ene tallet dele det andre tallet. (For kvadratet inneholder jo de samme faktorene)