Definisjonen på en skrå asymptote til f(x) er som følger:
En rett linje y = ax + b er en skrå asymptote til f(x) dersom minst en av følgende er oppfylt:
- lim[sub]x -> ∞[/sub] [f(x)-(ax+b)] = 0
- lim[sub]x -> -∞[/sub] [f(x)-(ax+b)] = 0
Skriver om funksjonen litt, på en brøkstrek:
f(x) = (6x[sup]2[/sup] - 12x -3)/(2-x)
f(x) har et polynom både i teller og i nevner, der graden i teller er én høyere enn i nevner. Vi kan da utføre en polynomdivisjon for å finne denne skrå asymptoten:
(6x[sup]2[/sup] - 12x -3) : (2-x) = 6x + 3/(2-x)
Du er nå kommet tilbake til det uttrykket du hadde, derfor virker nok de forrige operasjonene sikkert ganske unødvendig. Jeg tok det bare med for å vise at vi har et polynom med en grad høyere i teller enn i nevner (som vi må ha for å ha skrå asymtote).
Vi har altså f(x) = 6x + 3/(2-x):
Vi ser på det siste leddet når x går mot ∞ og -∞ :
- lim[sub]x -> ∞[/sub] 3/(2-x) = 0+
- lim[sub]x -> -∞[/sub] 3/(2-x) = 0-
Når x går mot går mot ∞ og -∞ vil
3/(2-x) gå mot null (henholdsvis oversiden og undersiden av null), og 6x dominerer derfor uttrykket i disse to tilfellene.
Og følgelig vil (6x + 3/(2-x)) - 6x gå mot null når x går mot ∞ og -∞.
Dette gir i følge definisjonen av en skrå asymptote at y = 6x er en skrå asymptote til f(x).
Her er f(x) tegnet opp sammen med den skrå asymptoten y=6x
Spør om noe er uklart, forklaringen er kanskje litt vanskelig...
(Endret: fikset endel småfeil)