AM-GM-ulikheten

[Abeline]

I det siste har jeg (endelig) fått et par spørsmål om AM-GM-ulikheten. Jeg vil derfor skrive litt om den her, for de som måtte være interessert i å lese det... AM-GM-ulikheten heter egentlig noe sånt som "Arithmetic Mean-Geometric mean Inequality".

Aritmetisk gjennomsnitt (mean), er "vanlig" gjennomsnitt, altså det du får ved å dele summen av tallene med antall tall.

Eks: Gjennomsnittet av 2, 5, 3 og 14 er (2+5+3+14)/4=6

Geometrisk gjennomsnitt får du ved å ta n-te-rota av produktet av tallene, i dette tilfellet [sup]4[/sup][rot][/rot](2*5*3*14).

Så til selve ulikheten. Den sier at det aritmetiske middeltallet (vanlig gjennomsnitt) av n observasjoner, hvor alle a[sub]i[/sub] (altså alle tallene) er større enn eller lik 0, alltid er større enn eller lik det geometriske. Likhet gjelder bare hvis alle a[sub]i[/sub]-ene er like.

Et eksempel: Vi har tallene 9, 25 og 15. Altså er n lik 3, fordi vi har tre tall.

AM: (9+25+15)/3=16 1/3
GM: 3[rot][/rot](9*25*15)=15

AM var her større enn GM

Helt formelt: Hvis du har n ikke-negative tall a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub], ..., a[sub]n[/sub], gjelder:

(a[sub]1[/sub]+a[sub]2[/sub]+...+a[sub]n[/sub])/n >= [sup]n[/sup][rot][/rot](a[sub]1[/sub]a[sub]2[/sub]...a[sub]n[/sub])

Likhet gjelder hvis og bare hvis a[sub]1[/sub]=a[sub]2[/sub]=...=a[sub]n[/sub].

Denne ulikheten er mye brukt i den såkalte olympiade-matematikken. Jeg vil på det sterkeste oppfordre alle til å være med i 1. runde i Abel-konkurranse, som avholdes 4. november. Snakk med mattelæreren ved din videregående skole. Gjør du det skikkelig bra, kan du være så heldig å få reise til Mexico til sommeren!