matematikk.net

[tex]{v = } \lim_{\triangle t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}[/tex]

Fant denne formelen i min fars gamle fysikkbok (sitter og leser litt på den her hjemme)

Kan noen forklare hvordan denne virker (går i tiende kl.)? skjønner ikke så veldig mye av den ...

Dette er en formel der farten er beskrevet som en grenseverdi. Ettersom
tida går mer og mer mot null, vil farten akkuratt der og da være bedre
beskrevet. Tenk deg speedometeret i en bil. Det måler farta bilen har der og da. Mulig jeg er litt dårlig til å forklare.

Alle fartsmålinger vil i praksis være gjennomsnittsfart over en strekning og periode. Likevel opererer man med begrepet momentanfart, altså farten en gjenstand har i ett bestemt punkt. Momentanfarten er grenseverdien for s/t når t nærmer seg 0. Matematisk kan dette uttrykkes slik:

v = [tex]\lim_{\triangle t \to 0} \frac{\triangle s}{\triangle t}[/tex]

Av dette matematiske uttrykket fremgår det at fart er det samme som den deriverte av posisjon med hensyn på tid.

Jeg er sikker på at faren din ikke vil ha noen problemer med å forklare deg dette, hvis han har hatt fysikk.

[tex]\Delta s[/tex], som leses "delta s" (trekanten er en gresk "delta"), betyr forskjell i strekning. Hvis bilen f.eks. har kjørt 100 meter fra startposisjonen, blir forskjellen i strekning 100 meter, altså blir [tex]\Delta s = 100[/tex]. Det samme gjelder for tiden.

Som sagt tidligere er fart momentan stigning i posisjon per tid, men dette er vanskelig å forklare før du lærer om grenseverdier og derivasjon på videregående.

Hvis forskjell i strekning er 100 meter, og forskjell i tid er 5 sekunder, blir farten [tex]\frac{100m}{5s} = 20 m/s[/tex]. Dette skal du vel være vant med fra før. Men denne farten er et uttrykk for gjennomsnittsfarten, og ikke den faktiske farten i alle punktene på strekningen. For den kan jo som kjent variere.

Men sett at bilen forflytter seg 1 meter, på 0.05 sekunder. Gjennomsnittsfarten er fortsatt 20 m/s, men på så kort tid kan bilen umulig ha hatt store endringer i farten, derfor er dette et bedre tall for bilens fart.

Sett at [tex]\Delta t[/tex], endringen i tid, blir veldig, veldig liten. Da blir også strekningsendringen veldig liten. Da vil bilen ha små muligheter til å ha noen særlig fartsendring i det hele tatt. Derfor er definisjonen på fart slik at når tidsendringen nærmer seg null, så er farten forskjell i strekning delt på forskjell i tid.

Derav notasjonen [tex]\lim_{\Delta t \rightarrow 0}[/tex], som ganske enkelt betyr at vi lar t være et veldig lite tall, så nært som null som det er praktisk mulig å komme.

Var noe nytt her nå, så det vil nok ta en dag eller to å forstå dette, men takk skal dere ha

Vet ikke om det hjelper, men wikibooks har en fin side om grenseverdier (limits): http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Limits