Eksamen 3MX - AA6524/AA6526 - Løsningsforslag
Lagt inn: 31/01-2007 18:26
Ja, her kommer mitt løsningsforslag til eksamensoppgavene som er lagt ut.
Har gjort dem for egen repetisjon, og slik at de som evt. stusser på noe, kan få en sjanse til å se et løsningsforslag.
Løsningsforslag Eksamen 3MX AA6524/6526
Oppgave 1
a) Deriver funksjonen
[tex]f(x) = e^x \cdot \cos x[/tex]
Vi bruker produktregelen.
[tex]f^\prime(x) = (e^x)^\prime \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)^\prime[/tex]
[tex]f^\prime(x) = e^x \cdot \cos x + e^x \cdot (-\sin x)[/tex]
[tex]f^\prime(x) = e^x(\cos x - \sin x)[/tex]
b) Deriver funksjonen
[tex]g(x) = \sqrt{3 \sin 2x}[/tex]
Vi bruker kjerneregelen, med substitusjonen [tex]u = 3\sin 2x[/tex]
[tex]g(u) \sqrt{u}[/tex], [tex]g^\prime(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}[/tex]
[tex]u^\prime = 6\cos 2x[/tex]
[tex]g^\prime(x) = g^\prime(u) \cdot u^\prime = \frac{6\cos 2x}{2 \sqrt {3\sin 2x}} = \frac{3 \cos 2x}{\sqrt{3\sin 2x}} = \frac{\sqrt{3} \cos 2x}{\sqrt{\sin 2x}}[/tex]
c) Finn de eksakte løsningene på likningen
[tex]\frac{\cos x}{\sin x} = -1 \quad\quad\quad x \in \[0\ ,\ 2\pi\>[/tex]
Her kunne vi ganske enkelt observert at det står [tex]\frac{-1}{1}[/tex] på H.S. og snudd brøkene for å komme rett til (1), men vi gjør det med teskje denne gangen.
[tex]\cos x = -\sin x[/tex]
[tex]1 = \frac{-\sin x}{\cos x}[/tex]
(1) [tex]\frac{\sin x}{\cos x} = -1[/tex]
[tex]\tan x = -1[/tex]
Vi vet at invers tangens til -1 blir [tex]\frac{3 \pi}{4}[/tex], og perioden til tangens er [tex]\pi[/tex].
[tex]x = \tan^{-1} (1) + \pi \cdot k,\quad k \in \mathbb Z[/tex]
[tex]x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot k[/tex]
[tex]x = \frac{3\pi}{4} \vee x = \frac{7\pi}{4}[/tex]
d) Posisjonen til en partikkel i planet ved tiden t er gitt ved
[tex]\v r (t) = \[t^2\ ,\ t^3 - 3t\][/tex]
1) Tegn grafen som beskriver bevegelsen til partikkelen. La [tex]t \in \[0\ ,\ 2\][/tex]
(Utsnitt av funksjonen, med [tex]x \in [-5\ ,\ 5\][/tex] og [tex]y \in [-5\ ,\ 5\][/tex] i originalskissen. Dette er som sagt et utsnitt.)
2) Bestem ved regning koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen og koordinataksene.
Ved skjæring med y-aksen: x = 0.
Fra funksjonen har vi at [tex]x = t^2[/tex]
[tex]t^2 = 0[/tex]
[tex]t = 0[/tex]
Og [tex]\v r(0) = [0\ ,\ 0\][/tex]
Altså har vi et skjæringspunkt med y-aksen i (0 , 0). Vi kan observere grafisk at dette også er det eneste skjæringspunktet med y-aksen, og siden y-verdien også er 0, er dette i tillegg et skjæringspunkt med x-aksen.
Ved skjæring med x-aksen: y = 0.
Fra funksjonen har vi at [tex]y = t^3 - 3t[/tex]
[tex]t^3 - 3t = 0[/tex]
[tex]t(t^2 - 3) = 0[/tex]
[tex]t = 0 \vee t^2 - 3 = 0[/tex]
Tilfellet t = 0 har vi allerede sett. Da gjenstår tilfellet
[tex]t^2 -3 = 0[/tex]
[tex]t^2 = 3[/tex]
Vi går ut fra at funksjonen kun er definert for [tex]t \in \[0\ ,\ 2\][/tex], da er det kun den positive kvadratroten vi bruker her.
[tex]t = \sqrt 3[/tex]
Og [tex]\v r(\sqrt{3}) = [3\ ,\ 0\][/tex].
Altså er punktet (3 , 0) et skjæringspunkt med x-aksen.
3) Bestem koordinatene til de punktene på kurven der hastighetsvektoren er parallell med koordinataksene.
Vi må først finne hastighetsvektoren:
[tex]\v v(t) = \v s^\prime(t) = \[2t\ ,\ 3t^2 - 3\][/tex]
Parallell med x-aksen: y-komponenten er 0
[tex]3t^2 - 3 = 0[/tex]
[tex]3t^2 = 3[/tex]
[tex]t^2 = 1[/tex]
Vi går fortsatt ut fra at t kun er definert for positive tall.
[tex]t = 1[/tex]
Dette gir posisjonsvektoren [tex]\v r(1) = \[1\ ,\ -2\][/tex]
Altså er hastighetsvektoren parallell med x-aksen i (1 , -2).
Parallell med y-aksen: x-komponenten er 0
[tex]2t = 0[/tex]
[tex]t = 0[/tex]
Punktet er, som vi kjenner fra før, (0 , 0).
e) Integrasjon kan brukes til å beregne areal og volum. Gi et eksempel på hver av disse metodene.
Eksempel på bruk av integrasjon til å beregne areal:
Vi vil beregne arealet under kurven [tex]y = x^2[/tex] mellom 0 og 1. Dette arealet blir
[tex]A = \int_0^1 x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3 + C\]_0^1 = \frac{1}{3}[/tex]
Eksempel på bruk av integrasjon til å beregne volum:
Vi vil beregne volumet av et omdreiningslegeme dannet ved at vi dreier funksjonen [tex]y = \frac{1}{x}[/tex] rundt x-aksen, fra 1 til 5. Dette arealet blir
[tex]A = \pi \int_1^5 (\frac{1}{x})^2 dx = \pi \cdot \[-\frac{1}{x}\]_1^5 = -\frac{1}{5} - (- \frac{1}{1}) = \frac{4}{5}\pi[/tex]
f) Finn integralet ved regning
[tex]I = \int x^2 \cdot e^x dx[/tex]
Taktikken blir her å bruke delvis integrasjon flere ganger etter hverandre, til vi får bort polynomfaktoren, x i andre.
[tex]u^\prime = e^x[/tex], [tex]v = x^2[/tex]
[tex]u = e^x[/tex], [tex]v^\prime = 2x[/tex]
[tex]I = x^2 e^x - \int 2x \cdot e^x dx[/tex]
[tex]J = \int 2x \cdot e^x dx[/tex]
Ny delvis integrasjon:
[tex]u^\prime = e^x[/tex], [tex]v = 2x[/tex]
[tex]u = e^x[/tex], [tex]v^\prime = 2[/tex]
[tex]J = 2x e^x - \int 2e^x dx[/tex]
[tex]J = 2x e^x - 2e^x + D[/tex] (der D er integrasjonskonstanten)
[tex]I = x^2e^x - (2xe^2 - 2e^x + C) = (x^2 - 2x + 2)e^x + C[/tex] (Vi snur fortegnet til C her, for det er greiest å ha positivt. Det kan vi gjøre, fordi C kan være et hvilket som helst reelt tall.)
g) Vi har gitt en geometrisk rekke, der [tex]a_3 = 1.62[/tex] og [tex]a_7 = 1.06288[/tex]. Undersøk om den uendelige rekka konvergerer, og finn eventuelt summen av rekka.
Vi vet at [tex]a_n = a_1 \cdot k^{n-1}[/tex]
Vi får:
(1) [tex]a_1 \cdot k^2 = 1.62[/tex]
(2) [tex]a_1 \cdot k^6 = 1.06288[/tex]
Vi deler likning (2) på likning (1):
[tex]\frac{a_1 \cdot k^6}{a_1 \cdot k^2} = \frac{1.06288}{1.62}[/tex]
[tex]k^4 = \frac{1.06288}{1.62}[/tex]
[tex]k = \sqrt[4]{\frac{1.06288}{1.62}} \approx 0.9[/tex]
Vi setter inn i (1):
[tex]a_1 \cdot 0.9^2 = 1.62[/tex]
[tex]a_1 = \frac{1.62}{0.9^2} = 2[/tex]
Vi ser at vi har ei uendelig geometrisk rekke med [tex]a_1 = 2[/tex] og [tex]k = 0.9[/tex]. Siden [tex]k \in \<-1\ ,\ 1\>[/tex] vil rekka konvergere.
Den konvergerer til [tex]S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{2}{0.1} = 20[/tex].
Oppgave 2
Ellen kjøper aksjer for første gang. Hun synes det er så spennende at hun gjennom et helt år følger den daglige endringen i verdien til aksjen.
I løpet av dag x endres verdien til aksen med f(x) kroner, der f(x) er gitt ved
[tex]f(x) = 0.10 \sin(0.0172 x - 0.149) + 0.20[/tex]
Her betyr for eksempel f(3) = 0.19 at verdien til aksjen steg med 19 øre den tredje dagen.
a) Ellen forteller stolt at hun hadde plukket ut en så god aksje at endringen var positiv hver eneste dag. Forklar ut fra funksjonsuttrykket at dette stemmer.
Vi ser at amplituden til funksjonen er 0.1, og likevektslinja er y = 0.2. Vi vet at minimumsverdien til en harmonisk svingning er y-koordinaten til likevektslinja minus amplituden, altså 0.2 - 0.1 = 0.1. Det betyr at funksjonen f(x) alltid er større enn eller lik 0.1, og endringen er positiv hver eneste dag.
Finn toppunktet på grafen til f(x). Forklar hva svaret ditt betyr.
Toppunkt har vi når argumentet til sinusfunksjonen er lik [tex]\frac{\pi}{2} \approx 1.5708[/tex]. Altså:
[tex]0.0172x - 0.149 = 1.5708[/tex]
[tex]x = \frac{1.5708 + 0.149}{0.0172} \approx 100[/tex]
I dette punktet er [tex]f(x) = 0.10 \cdot 1 + 0.20 = 0.30[/tex]. Da er toppuntet (100, 0.30). Dette betyr at på den beste dagen (dagen da aksjen steg mest i verdi) steg den med 30 øre, dette var på dag nr. 100.
Hvilke dager steg verdien med 21 øre?
[tex]f(x) = 0.21[/tex]
[tex]0.10 \sin(0.0172 x - 0.149) + 0.20 = 0.21[/tex]
[tex]\sin(0.0172 x - 0.149) = 0.1[/tex]
[tex]0.0172x - 0.149 \approx 0.1 + 2\pi \cdot k,\quad k \in {\mathbb Z} \vee0.0172x - 0.149 \approx \pi - 0.1 + 2\pi \cdot k,\quad k \in {\mathbb Z}[/tex]
[tex]0.0172x \approx 0.249 + 2\pi \cdot k \vee 0.0172x \approx 3.191 + 2\pi \cdot k[/tex]
[tex]x \approx 14 + 365 \cdot k \vee x \approx 185 + 365 \cdot k[/tex]
Verdien steg med 21 øre på dag 14 og dag 185.
d) Eldrid kjøpte aksjen for 78,46 kr. Hva var verdien etter ett år?
Økningen i verdi er gitt ved integralet av f(x) fra 0 til 365. Denne kan vi finne numerisk på kalkulatoren.
[tex]\int_0^{365} f(x) dx \approx 73,00[/tex]
Aksjen har altså økt med 73 kroner i løpet av året. Da er verdien etter ett år 78,46 kr + 73,00 kr = 151,46 kr.
Samtidig med Ellen kjøpte Jan en aksje der den daglige endringen i kroner fulgte funksjonen
[tex]g(x) = A \sin(0.0172x - 0.149) + d[/tex]
I løpet av et år hadde aksjen til Jan en verdistigning på 87,60 kr.
e) Bestem konstanten d i funksjonsuttrykket.
Vi ser at amplituden er ukjent. Dette må bety at vi ikke trenger å vite amplituden, vi tester denne påstanden numerisk med forskjellige tall (setter d til 5 for anledningen)
[tex]\int_0^{365} (2\sin(0.0172x - 0.149) + 5) dx \approx 1825,091[/tex]
[tex]\int_0^{365} (5\sin(0.0172x - 0.149) + 5) dx \approx 1825,223[/tex]
[tex]\int_0^{365} (10\sin(0.0172x - 0.149) + 5) dx \approx 1825,455[/tex]
Vi går ut fra at det lille avviket skyldes avrundingsfeil på kalkulatoren i stedet for faktisk avvik. (Dette kan selvsagt bevises, men det går vi ikke inn på her.) Da kan vi la A være hva vi vil. I latskapens navn lar vi A = 0, slik at sinus-uttrykket forsvinner. Da blir
[tex]g(x) = d[/tex].
Vi vil at arealet under denne funksjonen fra 0 til 365 skal bli 87,60 kroner.
[tex]\int_0^{365} d\ {\rm d}x = [dx]_0^{365} = 365d[/tex]
[tex]365d = 87.60[/tex]
[tex]d \approx 0.243[/tex].
Oppgave 3
En stor skole ønsker å kartlegge interessen for skidag. Skolens ledelse har bestemt at 75 % av elevene må være interessert dersom skidag skal arrangeres. Noen skiglade elever vil undersøke interessen blant elevene og spør 84 tilfeldig utvalgte elever om de ønsker skidag. Av disse svarer 66 at de ønsker det.
a) Finn et estimat for den andelen som ønsker skidag. Hva blir standardfeilen til estimatet?
Estimatet blir [tex]\hat p = \frac{66}{84} \approx 0.786[/tex]
Standardfeilen blir [tex]S_{\hat p} = \sqrt{\frac{0.786 \cdot 0.214}{84}} \approx 0.045[/tex]
b) Bestem et 95 % konfidensintervall for den andelen som ønsker skidag.
Intervallet blir [tex]\<0.786 - 1.96 \cdot 0.045\ ,\ 0.786 + 1.96 \cdot 0.045\>[/tex], tilnærmet [tex]\<0.700\ ,\ 0.874\>[/tex]
De elevene som foretok undersøkelsen, er usikre på om 75 % av alle elevene ønsker skidag. De starter derfor en "reklamekampanje". Etter kampanjen foretar de en ny undersøkelse. Denne gangen spør de 128 tilfeldig valgte elever. Av disse er det 105 som ønsker skidag.
c) Bestem et 95 % konfidensintervall for andelen elever som ønsker skidag, basert på denne undersøkelsen. Kommenter resultatet.
Vi får nå
[tex]\hat p = \frac{105}{128} \approx 0.820[/tex]
[tex]S_{\hat p} = \sqrt{\frac{0.820 \cdot 0.180}{128}} \approx 0.034[/tex]
95 % konfidensintervall: [tex]\<0.820 - 1.96 \cdot 0.034\ ,\ 0.820 + 1.96 \cdot 0.034\>[/tex],
som tilnærmet blir [tex]\<0.753\ ,\ 0.887\>[/tex]. Vi ser at konfidensintervallet ligger over 75 %, og skolen bør kunne konkludere med at det vil være fornuftig å arrangere skidag. Dette burde være rimelig selv om prosentandelen muligens ligger litt under 75 %.
d) En av elevene sier at "reklamekampanjen" har økt interessen for skidag. Kommenter dette.
Vi ser at estimatet for interessen har økt, men konfidensintervallene er vide. Økningen i interesse kan godt skyldes tilfeldige variasjoner i undersøkelsen i stedet for noen reell økning. Det er vanskelig å trekke noen klar konklusjon om interessen har økt eller ikke.
Oppgave 4, alternativ 1
En såkalt gammafunksjon G(x) har følgende egenskaper:
[tex]G(\frac{1}{2}) = \sqrt \pi[/tex], [tex]G(1) = 1[/tex] og [tex]G(x+1) = x \cdot G(x)[/tex]
Bruker vi disse egenskapene, får vi at [tex]G(\frac{3}{2}) = G(\frac{1}{2} + 1) = \frac{1}{2}G(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \sqrt \pi[/tex]
a) Bruk egenskapene ovenfor til å vise:
1) [tex]G(2) = 1[/tex]
[tex]G(2) = G(1 + 1) = 1G(1) = 1[/tex]
2) [tex]G(\frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \sqrt \pi[/tex]
[tex]G(\frac{5}{2}) = G(\frac{3}{2} + 1) = \frac{3}{2}G(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt \pi = \frac{3}{4} \sqrt \pi[/tex]
I en formelsamling finner vi:
[tex]\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cdot \cos^n x dx = \frac{G(\frac{m+1}{2}) \cdot G(\frac{n+1}{2})}{2 \cdot G(\frac{m+n+2}{2})}[/tex]
b) Bruk formelen til å regne ut
[tex]I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cdot \cos x dx[/tex]
Vi ser at m = 2 og n = 1
[tex]I = \frac{G(\frac{3}{2}) \cdot G(1)}{2 \cdot G(\frac{5}{2})} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{\pi} \cdot 1}{2 \cdot \frac{3}{4} \sqrt{\pi}} = \frac{1}{3}[/tex]
c) Bruk variabelskifte, og finn et eksakt uttrykk for
[tex]\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cdot \cos x dx[/tex]
[tex]I = \int \sin^2 x \cdot \cos x dx[/tex]
Vi setter [tex]u = \sin x[/tex], og får da [tex]u^\prime = \cos x[/tex]
[tex]I = \int u^2 \cdot u^\prime dx = \int u^2 du[/tex]
[tex]I = \frac{1}{3}u^3 + C = \frac{1}{3}\sin^3 x + C[/tex]
[tex]\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cdot \cos x dx = \frac{1}{3}\[\sin^3 x\]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3}(1 - 0) = \frac{1}{3}[/tex]
Oppgave 4, alternativ 2
Vi har at [tex](1 + x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3[/tex]. Dersom x er nær null, for eksempel 0,1, vil [tex]x^2 = 0,01[/tex] og [tex]x^3 = 0,001[/tex]. Vi kan derfor finne en god tilnærming ved å sette [tex](1 + x)^3 \approx 1 + 3x[/tex].
I denne oppgaven skal vi bruke en tilnærming gitt ved
[tex](1+x)^n \approx 1 + n \cdot x[/tex] når x er nær null og |n| ikke er for stor.
a) Undersøk feilen i prosent ved å bruke tilnærmingene
[tex](1 + x)^2 \approx 1 + 2x[/tex] og [tex](1 + x)^{-3} \approx 1 - 3x[/tex] når [tex]x = 0.1[/tex]
Vi lar [tex]O(x) = (1 + x)^2[/tex] være den originale verdien til x, og [tex]T(x) = 1 + 2x[/tex] være tilnærmingen til O(x).
Når [tex]x = 0.1[/tex]: Vi får [tex]O(0.1) = 1.1^2 = 1.21[/tex]. Vi får [tex]T(0.1) = 1 + 2 \cdot 0.1 = 1.20[/tex]. Vi ser at [tex]\frac{T(0,1)}{O(0,1)} \approx 0.9917[/tex], og får da [tex]1 - 0.9917 = 0.0083 = 0,83 \percent[/tex] avvik fra O(x). Feilen i prosent blir altså 0,83.
Tilsvarende for neste tilnærming, vi lar [tex]O(x) = (1 + x)^{-3}[/tex] og [tex]T(x) = 1 - 3x[/tex]. Vi får [tex](0.1) = 1.1^{-3} \approx 0.751315[/tex] og [tex]T(0.1) = 1 - 3 \cdot 0.1 = 0.7[/tex]. Vi får [tex]\frac{T(0.1)}{O(0.1)} \approx 1.0733[/tex]. Vi har et avvik på [tex]1.0733 - 1 = 0.0733 = 7.33 \percent[/tex]. Feilen i prosent blir altså 7.33.
b) 1) Bruk tilnærmingen til å vise
[tex]\frac{1}{(1 + x^2)^2} \approx 1 - 2x^2[/tex]
Vi setter [tex]u = x^2[/tex], og kaller uttrykket på venstre side for T.
[tex]T = \frac{1}{(1 + u)^2} = (1 + u)^{-2}[/tex]
Vi setter inn [tex](1 + u)^{-2} \approx 1 - 2u[/tex]
[tex]T \approx 1 - 2u = 1 - 2x^2[/tex]
2) Bruk tilnærmingen i 1), og finn et tilnærmet uttrykk for
[tex]\int_0^{0.1} \frac{1}{(1 + x^2)^2} dx[/tex]
Vi tilnærmer integralet med et integral I, ved hjelp av tilnærmingen ovenfor.
[tex]I = \int_0^{0.1} (1 - 2x^2) dx = \[x - \frac{2}{3}x^3\]_0^{0.1} = 0.1 - \frac{2}{3}\cdot 0.1^3 \approx 0.09933[/tex]
På kalkulatoren får vi at [tex]\int_0^{0.1} \frac{1}{(1 + x^2)^2} dx \approx 0.09934[/tex]
Vi ser at tilnærmingen var veldig fornuftig; vi har kun 0.00001 i i feilmargin mellom originalintegralet og det tilnærmede integralet.
c) Uttrykket for den kinetiske energien i relativitetsteorien er gitt ved
[tex]E_k = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - mc^2[/tex]
Sett [tex]x = \frac{v}{c}[/tex], og bruk tilnærmingen ovenfor til å vise at
[tex]E_k \approx \frac{1}{2}mv^2[/tex] når [tex]x = \frac{v}{c}[/tex] er liten.
Vi begynner med å forenkle [tex]E_k[/tex]:
[tex]E_k = mc^2(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1)[/tex]
Vi ser på uttrykket [tex]z = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}[/tex]. Dette kan skrives som [tex](1 - (\frac{v}{c})^2)^{\frac{1}{2}}[/tex]. Vi setter inn x:
[tex]z = (1 - x^2)^{\frac{1}{2}}[/tex]
Hvis vi setter dette inn i uttrykket for [tex]E_k[/tex] får vi
[tex]E_k = mc^2(\frac{1}{(1 - x^2)^{\frac{1}{2}}} - 1)[/tex]
[tex]E_k = mc^2( (1 - x^2)^{-\frac{1}{2}} - 1)[/tex]
Vi skriver om til
[tex]E_k = mc^2 (y - 1)[/tex]
Nå skal vi se på uttrykket [tex]y = (1 - x^2)^{-\frac{1}{2}}[/tex].
Vi setter [tex]u = -x^2[/tex]
[tex]y = (1 + u)^{-\frac{1}{2}}[/tex].
Det er gitt at x er veldig liten. Da må u også være veldig liten. Da er det fornuftig å bruke tilnærmingsformelen, og vi får:
[tex]y \approx 1 - \frac{1}{2}u[/tex]
Setter inn for u:
[tex]y \approx 1 + \frac{1}{2}x^2[/tex]
Setter inn for y:
[tex]E_k \approx mc^2 \cdot \frac{1}{2}x^2[/tex]
Vi setter inn [tex]x = \frac{v}{c}[/tex]
[tex]E_k \approx \frac{1}{2} m \not c^{\not 2} \cdot \frac{v^2}{\not c^{\not 2}}[/tex]
[tex]E_k \approx \frac{1}{2} mv^2[/tex]
Og vi er i mål.
Oppgave 5
Vi har gitt ligningen
[tex]x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0[/tex]
a) Vis ved å omforme ligningen at den beskriver en sirkel med sentrum i (1 , 2) og radius lik 5.
Vi vil faktorisere likningen for å få den over på formen [tex](x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2[/tex].
Vi legger til 1 + 4 på begge sider og stokker om på leddene:
[tex](x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) - 20 = 1 + 4[/tex]
Nå kan vi faktorisere med kvadratsetningene.
[tex](x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 20 = 5[/tex]
[tex](x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2[/tex].
Vi ser nå at m = 1, n = 2 og r = 5. Det betyr at likningen beskriver en sirkel med sentrum (1 , 2) og radius 5.
En sirkel med sentrum i [tex](x_0\ ,\ y_0)[/tex] og radius r kan skrives på formen
[tex]\v r (t) = \[x_0 + r\cos t\ ,\ y_0 + r\sin t\][/tex]
I vårt tilfelle får vi: [tex]\v r (t) = \[1 + 5\cos t\ ,\ 2 + 5\sin t\][/tex]
b) Sett [tex]x = 1 + 5\cos t[/tex] og [tex]y = 2 + 5\sin t[/tex] inn i den omformede ligningen i a), og vis at dette stemmer.
Vi setter inn for x og y:
[tex](1 + 5\cos t - 1)^2 + (2 + 5\sin t - 2)^2 = 5^2[/tex]
[tex](5\cos t)^2 + (5\sin t)^2 = 5^2[/tex]
[tex]25\cos^2 t + 25 \sin^2 t = 25[/tex]
[tex]25(\cos^2 t + \sin^2 t) = 25[/tex]
[tex]25 = 25[/tex]
Vi ser at likningen stemmer for alle t.
Finn fartsvektoren [tex]\v v (t)[/tex] og akselerasjonsvektoren [tex]\v a (t)[/tex], og vis at de står vinkelrett på hverandre for alle t-verdier.
Vi deriverer:
[tex]\v v(t) = \v r^\prime (t) = \[-5\sin t\ ,\ 5\cos t\][/tex]
[tex]\v a(t) = \v v^\prime (t) = \[-5\cos t\ ,\ -5\sin t\][/tex]
[tex]\v v(t) \cdot \v a(t) = (-5\sin t)(-5\cos t) + (5\cos t)(-5\sin t) = 0[/tex]
Skalarproduktet av vektorene er lik null, det betyr at de står normalt på hverandre.
d) Vis at punktet P(5 , -1) ligger på sirkelen. Finn en parameterframstilling for tangenten i punktet P.
I punktet P er x = 5 og y = -1. Vi setter inn i formelen og får
[tex](5-1)^2 + (-1 - 2)^2 = 5^2[/tex]
[tex]4^2 + (-3)^2 = 5^2[/tex]
Dette stemmer, altså ligger punktet P på sirkelen.
Sentrum S er i (1 , 2), og da er [tex]\v{SP} = [4\ ,\ -3\][/tex]
Vi vet at tangenten til en sirkel alltid står normalt på radiusen ut til punktet den tangerer, og da kan vi finne en retningsvektor for tangenten. Denne må da stå normalt på SP. En slik retningsvektor finner vi med å bytte om på x- og y-komponentene og snu fortegnet til den ene komponenten. Slik finner vi en retningsvektor for tangenten: [tex]\v n = \[3\ ,\ 4\][/tex]
Vi vet at tangenten passerer gjennom (5 , -1). Da blir parameterfremstillingen:
[tex]x = 3t + 5[/tex] og [tex]y = 4t - 1[/tex]
Har gjort dem for egen repetisjon, og slik at de som evt. stusser på noe, kan få en sjanse til å se et løsningsforslag.
Løsningsforslag Eksamen 3MX AA6524/6526
Oppgave 1
a) Deriver funksjonen
[tex]f(x) = e^x \cdot \cos x[/tex]
Vi bruker produktregelen.
[tex]f^\prime(x) = (e^x)^\prime \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)^\prime[/tex]
[tex]f^\prime(x) = e^x \cdot \cos x + e^x \cdot (-\sin x)[/tex]
[tex]f^\prime(x) = e^x(\cos x - \sin x)[/tex]
b) Deriver funksjonen
[tex]g(x) = \sqrt{3 \sin 2x}[/tex]
Vi bruker kjerneregelen, med substitusjonen [tex]u = 3\sin 2x[/tex]
[tex]g(u) \sqrt{u}[/tex], [tex]g^\prime(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}[/tex]
[tex]u^\prime = 6\cos 2x[/tex]
[tex]g^\prime(x) = g^\prime(u) \cdot u^\prime = \frac{6\cos 2x}{2 \sqrt {3\sin 2x}} = \frac{3 \cos 2x}{\sqrt{3\sin 2x}} = \frac{\sqrt{3} \cos 2x}{\sqrt{\sin 2x}}[/tex]
c) Finn de eksakte løsningene på likningen
[tex]\frac{\cos x}{\sin x} = -1 \quad\quad\quad x \in \[0\ ,\ 2\pi\>[/tex]
Her kunne vi ganske enkelt observert at det står [tex]\frac{-1}{1}[/tex] på H.S. og snudd brøkene for å komme rett til (1), men vi gjør det med teskje denne gangen.
[tex]\cos x = -\sin x[/tex]
[tex]1 = \frac{-\sin x}{\cos x}[/tex]
(1) [tex]\frac{\sin x}{\cos x} = -1[/tex]
[tex]\tan x = -1[/tex]
Vi vet at invers tangens til -1 blir [tex]\frac{3 \pi}{4}[/tex], og perioden til tangens er [tex]\pi[/tex].
[tex]x = \tan^{-1} (1) + \pi \cdot k,\quad k \in \mathbb Z[/tex]
[tex]x = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot k[/tex]
[tex]x = \frac{3\pi}{4} \vee x = \frac{7\pi}{4}[/tex]
d) Posisjonen til en partikkel i planet ved tiden t er gitt ved
[tex]\v r (t) = \[t^2\ ,\ t^3 - 3t\][/tex]
1) Tegn grafen som beskriver bevegelsen til partikkelen. La [tex]t \in \[0\ ,\ 2\][/tex]
(Utsnitt av funksjonen, med [tex]x \in [-5\ ,\ 5\][/tex] og [tex]y \in [-5\ ,\ 5\][/tex] i originalskissen. Dette er som sagt et utsnitt.)
2) Bestem ved regning koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen og koordinataksene.
Ved skjæring med y-aksen: x = 0.
Fra funksjonen har vi at [tex]x = t^2[/tex]
[tex]t^2 = 0[/tex]
[tex]t = 0[/tex]
Og [tex]\v r(0) = [0\ ,\ 0\][/tex]
Altså har vi et skjæringspunkt med y-aksen i (0 , 0). Vi kan observere grafisk at dette også er det eneste skjæringspunktet med y-aksen, og siden y-verdien også er 0, er dette i tillegg et skjæringspunkt med x-aksen.
Ved skjæring med x-aksen: y = 0.
Fra funksjonen har vi at [tex]y = t^3 - 3t[/tex]
[tex]t^3 - 3t = 0[/tex]
[tex]t(t^2 - 3) = 0[/tex]
[tex]t = 0 \vee t^2 - 3 = 0[/tex]
Tilfellet t = 0 har vi allerede sett. Da gjenstår tilfellet
[tex]t^2 -3 = 0[/tex]
[tex]t^2 = 3[/tex]
Vi går ut fra at funksjonen kun er definert for [tex]t \in \[0\ ,\ 2\][/tex], da er det kun den positive kvadratroten vi bruker her.
[tex]t = \sqrt 3[/tex]
Og [tex]\v r(\sqrt{3}) = [3\ ,\ 0\][/tex].
Altså er punktet (3 , 0) et skjæringspunkt med x-aksen.
3) Bestem koordinatene til de punktene på kurven der hastighetsvektoren er parallell med koordinataksene.
Vi må først finne hastighetsvektoren:
[tex]\v v(t) = \v s^\prime(t) = \[2t\ ,\ 3t^2 - 3\][/tex]
Parallell med x-aksen: y-komponenten er 0
[tex]3t^2 - 3 = 0[/tex]
[tex]3t^2 = 3[/tex]
[tex]t^2 = 1[/tex]
Vi går fortsatt ut fra at t kun er definert for positive tall.
[tex]t = 1[/tex]
Dette gir posisjonsvektoren [tex]\v r(1) = \[1\ ,\ -2\][/tex]
Altså er hastighetsvektoren parallell med x-aksen i (1 , -2).
Parallell med y-aksen: x-komponenten er 0
[tex]2t = 0[/tex]
[tex]t = 0[/tex]
Punktet er, som vi kjenner fra før, (0 , 0).
e) Integrasjon kan brukes til å beregne areal og volum. Gi et eksempel på hver av disse metodene.
Eksempel på bruk av integrasjon til å beregne areal:
Vi vil beregne arealet under kurven [tex]y = x^2[/tex] mellom 0 og 1. Dette arealet blir
[tex]A = \int_0^1 x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3 + C\]_0^1 = \frac{1}{3}[/tex]
Eksempel på bruk av integrasjon til å beregne volum:
Vi vil beregne volumet av et omdreiningslegeme dannet ved at vi dreier funksjonen [tex]y = \frac{1}{x}[/tex] rundt x-aksen, fra 1 til 5. Dette arealet blir
[tex]A = \pi \int_1^5 (\frac{1}{x})^2 dx = \pi \cdot \[-\frac{1}{x}\]_1^5 = -\frac{1}{5} - (- \frac{1}{1}) = \frac{4}{5}\pi[/tex]
f) Finn integralet ved regning
[tex]I = \int x^2 \cdot e^x dx[/tex]
Taktikken blir her å bruke delvis integrasjon flere ganger etter hverandre, til vi får bort polynomfaktoren, x i andre.
[tex]u^\prime = e^x[/tex], [tex]v = x^2[/tex]
[tex]u = e^x[/tex], [tex]v^\prime = 2x[/tex]
[tex]I = x^2 e^x - \int 2x \cdot e^x dx[/tex]
[tex]J = \int 2x \cdot e^x dx[/tex]
Ny delvis integrasjon:
[tex]u^\prime = e^x[/tex], [tex]v = 2x[/tex]
[tex]u = e^x[/tex], [tex]v^\prime = 2[/tex]
[tex]J = 2x e^x - \int 2e^x dx[/tex]
[tex]J = 2x e^x - 2e^x + D[/tex] (der D er integrasjonskonstanten)
[tex]I = x^2e^x - (2xe^2 - 2e^x + C) = (x^2 - 2x + 2)e^x + C[/tex] (Vi snur fortegnet til C her, for det er greiest å ha positivt. Det kan vi gjøre, fordi C kan være et hvilket som helst reelt tall.)
g) Vi har gitt en geometrisk rekke, der [tex]a_3 = 1.62[/tex] og [tex]a_7 = 1.06288[/tex]. Undersøk om den uendelige rekka konvergerer, og finn eventuelt summen av rekka.
Vi vet at [tex]a_n = a_1 \cdot k^{n-1}[/tex]
Vi får:
(1) [tex]a_1 \cdot k^2 = 1.62[/tex]
(2) [tex]a_1 \cdot k^6 = 1.06288[/tex]
Vi deler likning (2) på likning (1):
[tex]\frac{a_1 \cdot k^6}{a_1 \cdot k^2} = \frac{1.06288}{1.62}[/tex]
[tex]k^4 = \frac{1.06288}{1.62}[/tex]
[tex]k = \sqrt[4]{\frac{1.06288}{1.62}} \approx 0.9[/tex]
Vi setter inn i (1):
[tex]a_1 \cdot 0.9^2 = 1.62[/tex]
[tex]a_1 = \frac{1.62}{0.9^2} = 2[/tex]
Vi ser at vi har ei uendelig geometrisk rekke med [tex]a_1 = 2[/tex] og [tex]k = 0.9[/tex]. Siden [tex]k \in \<-1\ ,\ 1\>[/tex] vil rekka konvergere.
Den konvergerer til [tex]S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{2}{0.1} = 20[/tex].
Oppgave 2
Ellen kjøper aksjer for første gang. Hun synes det er så spennende at hun gjennom et helt år følger den daglige endringen i verdien til aksjen.
I løpet av dag x endres verdien til aksen med f(x) kroner, der f(x) er gitt ved
[tex]f(x) = 0.10 \sin(0.0172 x - 0.149) + 0.20[/tex]
Her betyr for eksempel f(3) = 0.19 at verdien til aksjen steg med 19 øre den tredje dagen.
a) Ellen forteller stolt at hun hadde plukket ut en så god aksje at endringen var positiv hver eneste dag. Forklar ut fra funksjonsuttrykket at dette stemmer.
Vi ser at amplituden til funksjonen er 0.1, og likevektslinja er y = 0.2. Vi vet at minimumsverdien til en harmonisk svingning er y-koordinaten til likevektslinja minus amplituden, altså 0.2 - 0.1 = 0.1. Det betyr at funksjonen f(x) alltid er større enn eller lik 0.1, og endringen er positiv hver eneste dag.
Finn toppunktet på grafen til f(x). Forklar hva svaret ditt betyr.
Toppunkt har vi når argumentet til sinusfunksjonen er lik [tex]\frac{\pi}{2} \approx 1.5708[/tex]. Altså:
[tex]0.0172x - 0.149 = 1.5708[/tex]
[tex]x = \frac{1.5708 + 0.149}{0.0172} \approx 100[/tex]
I dette punktet er [tex]f(x) = 0.10 \cdot 1 + 0.20 = 0.30[/tex]. Da er toppuntet (100, 0.30). Dette betyr at på den beste dagen (dagen da aksjen steg mest i verdi) steg den med 30 øre, dette var på dag nr. 100.
Hvilke dager steg verdien med 21 øre?
[tex]f(x) = 0.21[/tex]
[tex]0.10 \sin(0.0172 x - 0.149) + 0.20 = 0.21[/tex]
[tex]\sin(0.0172 x - 0.149) = 0.1[/tex]
[tex]0.0172x - 0.149 \approx 0.1 + 2\pi \cdot k,\quad k \in {\mathbb Z} \vee0.0172x - 0.149 \approx \pi - 0.1 + 2\pi \cdot k,\quad k \in {\mathbb Z}[/tex]
[tex]0.0172x \approx 0.249 + 2\pi \cdot k \vee 0.0172x \approx 3.191 + 2\pi \cdot k[/tex]
[tex]x \approx 14 + 365 \cdot k \vee x \approx 185 + 365 \cdot k[/tex]
Verdien steg med 21 øre på dag 14 og dag 185.
d) Eldrid kjøpte aksjen for 78,46 kr. Hva var verdien etter ett år?
Økningen i verdi er gitt ved integralet av f(x) fra 0 til 365. Denne kan vi finne numerisk på kalkulatoren.
[tex]\int_0^{365} f(x) dx \approx 73,00[/tex]
Aksjen har altså økt med 73 kroner i løpet av året. Da er verdien etter ett år 78,46 kr + 73,00 kr = 151,46 kr.
Samtidig med Ellen kjøpte Jan en aksje der den daglige endringen i kroner fulgte funksjonen
[tex]g(x) = A \sin(0.0172x - 0.149) + d[/tex]
I løpet av et år hadde aksjen til Jan en verdistigning på 87,60 kr.
e) Bestem konstanten d i funksjonsuttrykket.
Vi ser at amplituden er ukjent. Dette må bety at vi ikke trenger å vite amplituden, vi tester denne påstanden numerisk med forskjellige tall (setter d til 5 for anledningen)
[tex]\int_0^{365} (2\sin(0.0172x - 0.149) + 5) dx \approx 1825,091[/tex]
[tex]\int_0^{365} (5\sin(0.0172x - 0.149) + 5) dx \approx 1825,223[/tex]
[tex]\int_0^{365} (10\sin(0.0172x - 0.149) + 5) dx \approx 1825,455[/tex]
Vi går ut fra at det lille avviket skyldes avrundingsfeil på kalkulatoren i stedet for faktisk avvik. (Dette kan selvsagt bevises, men det går vi ikke inn på her.) Da kan vi la A være hva vi vil. I latskapens navn lar vi A = 0, slik at sinus-uttrykket forsvinner. Da blir
[tex]g(x) = d[/tex].
Vi vil at arealet under denne funksjonen fra 0 til 365 skal bli 87,60 kroner.
[tex]\int_0^{365} d\ {\rm d}x = [dx]_0^{365} = 365d[/tex]
[tex]365d = 87.60[/tex]
[tex]d \approx 0.243[/tex].
Oppgave 3
En stor skole ønsker å kartlegge interessen for skidag. Skolens ledelse har bestemt at 75 % av elevene må være interessert dersom skidag skal arrangeres. Noen skiglade elever vil undersøke interessen blant elevene og spør 84 tilfeldig utvalgte elever om de ønsker skidag. Av disse svarer 66 at de ønsker det.
a) Finn et estimat for den andelen som ønsker skidag. Hva blir standardfeilen til estimatet?
Estimatet blir [tex]\hat p = \frac{66}{84} \approx 0.786[/tex]
Standardfeilen blir [tex]S_{\hat p} = \sqrt{\frac{0.786 \cdot 0.214}{84}} \approx 0.045[/tex]
b) Bestem et 95 % konfidensintervall for den andelen som ønsker skidag.
Intervallet blir [tex]\<0.786 - 1.96 \cdot 0.045\ ,\ 0.786 + 1.96 \cdot 0.045\>[/tex], tilnærmet [tex]\<0.700\ ,\ 0.874\>[/tex]
De elevene som foretok undersøkelsen, er usikre på om 75 % av alle elevene ønsker skidag. De starter derfor en "reklamekampanje". Etter kampanjen foretar de en ny undersøkelse. Denne gangen spør de 128 tilfeldig valgte elever. Av disse er det 105 som ønsker skidag.
c) Bestem et 95 % konfidensintervall for andelen elever som ønsker skidag, basert på denne undersøkelsen. Kommenter resultatet.
Vi får nå
[tex]\hat p = \frac{105}{128} \approx 0.820[/tex]
[tex]S_{\hat p} = \sqrt{\frac{0.820 \cdot 0.180}{128}} \approx 0.034[/tex]
95 % konfidensintervall: [tex]\<0.820 - 1.96 \cdot 0.034\ ,\ 0.820 + 1.96 \cdot 0.034\>[/tex],
som tilnærmet blir [tex]\<0.753\ ,\ 0.887\>[/tex]. Vi ser at konfidensintervallet ligger over 75 %, og skolen bør kunne konkludere med at det vil være fornuftig å arrangere skidag. Dette burde være rimelig selv om prosentandelen muligens ligger litt under 75 %.
d) En av elevene sier at "reklamekampanjen" har økt interessen for skidag. Kommenter dette.
Vi ser at estimatet for interessen har økt, men konfidensintervallene er vide. Økningen i interesse kan godt skyldes tilfeldige variasjoner i undersøkelsen i stedet for noen reell økning. Det er vanskelig å trekke noen klar konklusjon om interessen har økt eller ikke.
Oppgave 4, alternativ 1
En såkalt gammafunksjon G(x) har følgende egenskaper:
[tex]G(\frac{1}{2}) = \sqrt \pi[/tex], [tex]G(1) = 1[/tex] og [tex]G(x+1) = x \cdot G(x)[/tex]
Bruker vi disse egenskapene, får vi at [tex]G(\frac{3}{2}) = G(\frac{1}{2} + 1) = \frac{1}{2}G(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \sqrt \pi[/tex]
a) Bruk egenskapene ovenfor til å vise:
1) [tex]G(2) = 1[/tex]
[tex]G(2) = G(1 + 1) = 1G(1) = 1[/tex]
2) [tex]G(\frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \sqrt \pi[/tex]
[tex]G(\frac{5}{2}) = G(\frac{3}{2} + 1) = \frac{3}{2}G(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt \pi = \frac{3}{4} \sqrt \pi[/tex]
I en formelsamling finner vi:
[tex]\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cdot \cos^n x dx = \frac{G(\frac{m+1}{2}) \cdot G(\frac{n+1}{2})}{2 \cdot G(\frac{m+n+2}{2})}[/tex]
b) Bruk formelen til å regne ut
[tex]I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cdot \cos x dx[/tex]
Vi ser at m = 2 og n = 1
[tex]I = \frac{G(\frac{3}{2}) \cdot G(1)}{2 \cdot G(\frac{5}{2})} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{\pi} \cdot 1}{2 \cdot \frac{3}{4} \sqrt{\pi}} = \frac{1}{3}[/tex]
c) Bruk variabelskifte, og finn et eksakt uttrykk for
[tex]\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cdot \cos x dx[/tex]
[tex]I = \int \sin^2 x \cdot \cos x dx[/tex]
Vi setter [tex]u = \sin x[/tex], og får da [tex]u^\prime = \cos x[/tex]
[tex]I = \int u^2 \cdot u^\prime dx = \int u^2 du[/tex]
[tex]I = \frac{1}{3}u^3 + C = \frac{1}{3}\sin^3 x + C[/tex]
[tex]\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cdot \cos x dx = \frac{1}{3}\[\sin^3 x\]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3}(1 - 0) = \frac{1}{3}[/tex]
Oppgave 4, alternativ 2
Vi har at [tex](1 + x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3[/tex]. Dersom x er nær null, for eksempel 0,1, vil [tex]x^2 = 0,01[/tex] og [tex]x^3 = 0,001[/tex]. Vi kan derfor finne en god tilnærming ved å sette [tex](1 + x)^3 \approx 1 + 3x[/tex].
I denne oppgaven skal vi bruke en tilnærming gitt ved
[tex](1+x)^n \approx 1 + n \cdot x[/tex] når x er nær null og |n| ikke er for stor.
a) Undersøk feilen i prosent ved å bruke tilnærmingene
[tex](1 + x)^2 \approx 1 + 2x[/tex] og [tex](1 + x)^{-3} \approx 1 - 3x[/tex] når [tex]x = 0.1[/tex]
Vi lar [tex]O(x) = (1 + x)^2[/tex] være den originale verdien til x, og [tex]T(x) = 1 + 2x[/tex] være tilnærmingen til O(x).
Når [tex]x = 0.1[/tex]: Vi får [tex]O(0.1) = 1.1^2 = 1.21[/tex]. Vi får [tex]T(0.1) = 1 + 2 \cdot 0.1 = 1.20[/tex]. Vi ser at [tex]\frac{T(0,1)}{O(0,1)} \approx 0.9917[/tex], og får da [tex]1 - 0.9917 = 0.0083 = 0,83 \percent[/tex] avvik fra O(x). Feilen i prosent blir altså 0,83.
Tilsvarende for neste tilnærming, vi lar [tex]O(x) = (1 + x)^{-3}[/tex] og [tex]T(x) = 1 - 3x[/tex]. Vi får [tex](0.1) = 1.1^{-3} \approx 0.751315[/tex] og [tex]T(0.1) = 1 - 3 \cdot 0.1 = 0.7[/tex]. Vi får [tex]\frac{T(0.1)}{O(0.1)} \approx 1.0733[/tex]. Vi har et avvik på [tex]1.0733 - 1 = 0.0733 = 7.33 \percent[/tex]. Feilen i prosent blir altså 7.33.
b) 1) Bruk tilnærmingen til å vise
[tex]\frac{1}{(1 + x^2)^2} \approx 1 - 2x^2[/tex]
Vi setter [tex]u = x^2[/tex], og kaller uttrykket på venstre side for T.
[tex]T = \frac{1}{(1 + u)^2} = (1 + u)^{-2}[/tex]
Vi setter inn [tex](1 + u)^{-2} \approx 1 - 2u[/tex]
[tex]T \approx 1 - 2u = 1 - 2x^2[/tex]
2) Bruk tilnærmingen i 1), og finn et tilnærmet uttrykk for
[tex]\int_0^{0.1} \frac{1}{(1 + x^2)^2} dx[/tex]
Vi tilnærmer integralet med et integral I, ved hjelp av tilnærmingen ovenfor.
[tex]I = \int_0^{0.1} (1 - 2x^2) dx = \[x - \frac{2}{3}x^3\]_0^{0.1} = 0.1 - \frac{2}{3}\cdot 0.1^3 \approx 0.09933[/tex]
På kalkulatoren får vi at [tex]\int_0^{0.1} \frac{1}{(1 + x^2)^2} dx \approx 0.09934[/tex]
Vi ser at tilnærmingen var veldig fornuftig; vi har kun 0.00001 i i feilmargin mellom originalintegralet og det tilnærmede integralet.
c) Uttrykket for den kinetiske energien i relativitetsteorien er gitt ved
[tex]E_k = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - mc^2[/tex]
Sett [tex]x = \frac{v}{c}[/tex], og bruk tilnærmingen ovenfor til å vise at
[tex]E_k \approx \frac{1}{2}mv^2[/tex] når [tex]x = \frac{v}{c}[/tex] er liten.
Vi begynner med å forenkle [tex]E_k[/tex]:
[tex]E_k = mc^2(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1)[/tex]
Vi ser på uttrykket [tex]z = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}[/tex]. Dette kan skrives som [tex](1 - (\frac{v}{c})^2)^{\frac{1}{2}}[/tex]. Vi setter inn x:
[tex]z = (1 - x^2)^{\frac{1}{2}}[/tex]
Hvis vi setter dette inn i uttrykket for [tex]E_k[/tex] får vi
[tex]E_k = mc^2(\frac{1}{(1 - x^2)^{\frac{1}{2}}} - 1)[/tex]
[tex]E_k = mc^2( (1 - x^2)^{-\frac{1}{2}} - 1)[/tex]
Vi skriver om til
[tex]E_k = mc^2 (y - 1)[/tex]
Nå skal vi se på uttrykket [tex]y = (1 - x^2)^{-\frac{1}{2}}[/tex].
Vi setter [tex]u = -x^2[/tex]
[tex]y = (1 + u)^{-\frac{1}{2}}[/tex].
Det er gitt at x er veldig liten. Da må u også være veldig liten. Da er det fornuftig å bruke tilnærmingsformelen, og vi får:
[tex]y \approx 1 - \frac{1}{2}u[/tex]
Setter inn for u:
[tex]y \approx 1 + \frac{1}{2}x^2[/tex]
Setter inn for y:
[tex]E_k \approx mc^2 \cdot \frac{1}{2}x^2[/tex]
Vi setter inn [tex]x = \frac{v}{c}[/tex]
[tex]E_k \approx \frac{1}{2} m \not c^{\not 2} \cdot \frac{v^2}{\not c^{\not 2}}[/tex]
[tex]E_k \approx \frac{1}{2} mv^2[/tex]
Og vi er i mål.
Oppgave 5
Vi har gitt ligningen
[tex]x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0[/tex]
a) Vis ved å omforme ligningen at den beskriver en sirkel med sentrum i (1 , 2) og radius lik 5.
Vi vil faktorisere likningen for å få den over på formen [tex](x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2[/tex].
Vi legger til 1 + 4 på begge sider og stokker om på leddene:
[tex](x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) - 20 = 1 + 4[/tex]
Nå kan vi faktorisere med kvadratsetningene.
[tex](x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 20 = 5[/tex]
[tex](x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2[/tex].
Vi ser nå at m = 1, n = 2 og r = 5. Det betyr at likningen beskriver en sirkel med sentrum (1 , 2) og radius 5.
En sirkel med sentrum i [tex](x_0\ ,\ y_0)[/tex] og radius r kan skrives på formen
[tex]\v r (t) = \[x_0 + r\cos t\ ,\ y_0 + r\sin t\][/tex]
I vårt tilfelle får vi: [tex]\v r (t) = \[1 + 5\cos t\ ,\ 2 + 5\sin t\][/tex]
b) Sett [tex]x = 1 + 5\cos t[/tex] og [tex]y = 2 + 5\sin t[/tex] inn i den omformede ligningen i a), og vis at dette stemmer.
Vi setter inn for x og y:
[tex](1 + 5\cos t - 1)^2 + (2 + 5\sin t - 2)^2 = 5^2[/tex]
[tex](5\cos t)^2 + (5\sin t)^2 = 5^2[/tex]
[tex]25\cos^2 t + 25 \sin^2 t = 25[/tex]
[tex]25(\cos^2 t + \sin^2 t) = 25[/tex]
[tex]25 = 25[/tex]
Vi ser at likningen stemmer for alle t.
Finn fartsvektoren [tex]\v v (t)[/tex] og akselerasjonsvektoren [tex]\v a (t)[/tex], og vis at de står vinkelrett på hverandre for alle t-verdier.
Vi deriverer:
[tex]\v v(t) = \v r^\prime (t) = \[-5\sin t\ ,\ 5\cos t\][/tex]
[tex]\v a(t) = \v v^\prime (t) = \[-5\cos t\ ,\ -5\sin t\][/tex]
[tex]\v v(t) \cdot \v a(t) = (-5\sin t)(-5\cos t) + (5\cos t)(-5\sin t) = 0[/tex]
Skalarproduktet av vektorene er lik null, det betyr at de står normalt på hverandre.
d) Vis at punktet P(5 , -1) ligger på sirkelen. Finn en parameterframstilling for tangenten i punktet P.
I punktet P er x = 5 og y = -1. Vi setter inn i formelen og får
[tex](5-1)^2 + (-1 - 2)^2 = 5^2[/tex]
[tex]4^2 + (-3)^2 = 5^2[/tex]
Dette stemmer, altså ligger punktet P på sirkelen.
Sentrum S er i (1 , 2), og da er [tex]\v{SP} = [4\ ,\ -3\][/tex]
Vi vet at tangenten til en sirkel alltid står normalt på radiusen ut til punktet den tangerer, og da kan vi finne en retningsvektor for tangenten. Denne må da stå normalt på SP. En slik retningsvektor finner vi med å bytte om på x- og y-komponentene og snu fortegnet til den ene komponenten. Slik finner vi en retningsvektor for tangenten: [tex]\v n = \[3\ ,\ 4\][/tex]
Vi vet at tangenten passerer gjennom (5 , -1). Da blir parameterfremstillingen:
[tex]x = 3t + 5[/tex] og [tex]y = 4t - 1[/tex]
bra jobba, dette blir nyttig i repitisjonsfasen..