matematikk.net

OPPGAVE:

Funksjonen f er gitt ved:

[tex]f(x) = sinx \cdot \sqrt{1 - cosx}[/tex] [tex]x \in [0, \frac {\pi} {2}][/tex]

c) Bestem volumet av det omdreiningslegemet vi får når vi roterer grafen 360 grader om x-aksen.

[tex]V = \pi \int_a^b (f(x))^{2}dx[/tex]
Ente opp med dette:

[tex]\pi \int_0^{\frac {\pi} 2} (sinx \cdot \sqrt{1 - cosx})^{2}dx = [/tex]
[tex]\pi \left[- \frac 1 4 \cdot sin2x + \frac x 2 - \frac 1 3 \cdot sin^{3}x\right]_0^{\frac {\pi} 2}[/tex]

Noe som gir: [tex]V = 0,4543[/tex]

Videre:

Per har en idé om at han kan finne volumet ovenfor ved å regne ut volumet av en sylinder med radius lik gjennomsnittsverdien til f i intervallet [tex][0, \frac {\pi} 2 ][/tex]

Gjennomsnittsverdien til en funksjon i et intervall [a,b] er gitt ved:

[tex]\frac 1 {b-a} \int_a^b f(x)dx[/tex]

OPPGAVE D: Undersøk om metoden til Per gir rett svar i dette tilfellet.

Jeg løse ut integralet og endte opp med:

[tex]\left[\frac {4} {3 \pi}(1 - cosx)^{\frac 3 2}\right]_0^{\frac {\pi} 2[/tex]

Hvordan går jeg videre?

Om det du har gjort er riktig, og du ender opp med riktig integral(noe jeg ikke har sett på om du har gjort, ettersom det hører ut som du kan det). Skal det bare være å sette inn i formelen for en sylinder

[tex]V=\pi*r^2*h[/tex]

der: [tex]r=\left[ \frac{4}{3\pi} (1-cosx)^{\frac{3}{2}} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}[/tex]