hjelp

[sweetgirl87]

jeg har kommet så langt på en likning.

[symbol:integral] lnx/x dx
sett u=lnx og v`=1/x

u=lnx u`=1/x v= lnx v`= 1/x

[symbol:integral] 1/x*lnx dx = lnx*lnx- [symbol:integral] lnx*1/x dx

[symbol:integral] 1/x*lnx dx=lnx*lnx - 1/2lnx^2*lnx

svaret skal kun bli 1/2lnx^2

fikk det kjempe fint til ved variabelskifte

[ettam]

[tex]u = ln x \qquad[/tex] og [tex]\qquad v^{,} = \frac {1}{x}[/tex]

[tex]u^{,} = \frac{1}{x} \qquad[/tex] og [tex]\qquad v = -\frac {1}{x^2}[/tex]

[tex]\int \frac{ln x}{x} dx = \int ln x \cdot \frac{1}{x} dx = [/tex]

....jeg regnet feil.... ser at noen andre i mens har fått den til....

[Janhaa]

Altså "svaret" er ikke helt riktig skrevet fordi: hvis du deriverer høyre sida skal den bli lik integranden. Jeg skal vise:

[tex]I\,=\,\int {ln(x) \over x}dx={1\over 2}ln(x^2)+C[/tex]

[tex]{d\over dx}({1\over 2}{ln(x^2)})=({1\over x^2})({1\over 2})({2x})={1\over x}[/tex]

som er forskjellig fra integranden (uttrykket til høyre for integralet.

[tex]I\,=\,{1\over 2}(ln(x))^2\,+\,C\;[/tex]er riktig skrivemåte.

Fordi:[tex]\;{d\over dx}({1\over 2}(ln(x))^2={1\over 2}\cdot 2 \cdot {1\over x}\cdot ln(x)={ln(x)\over x}[/tex]

nå er høyre sida derivert lik integranden, og da viser vi det også:
bruker delvis integrasjon: u=ln(x) og u'=(1/x) og v'=(1/x) og v=ln(x)

[tex]I\,=\,\int {ln(x)\over x}dx\,=\,ln(x)\cdot ln(x)\,-\,\int {ln(x)\over x}dx[/tex]

flytter over integralet på høyre sida til venstre:

[tex]I\,=\,2\int {ln(x)\over x}dx\,=\,ln(x)\cdot ln(x)[/tex]

[tex]I\,=\,\int {ln(x)\over x}dx\,=\,{1\over 2}(ln(x))^2\,+\,C[/tex]