matematikk.net

løs integralet

[symbol:integral] 1+tanx^2 / tanx^2 dx



finn

[symbol:pi]
[symbol:integral] x(sinx+cosx) dx
0

a)

[tex]\int ({1+tan^2(x)\over tan^2(x)})\,dx\,=\,[/tex][tex]\int ({1\over cos^2(x)})({1\over tan^2(x)})\,dx\,=\,[/tex][tex]\int{1\over sin^2(x)\,}dx\,=\,-cot(x)\,+\,C\,=\,-{1\over tan(x)}\,+\,C[/tex]

Skriv det andre integralet som:

[tex]I = \int _0^{\pi} x\sin xdx + \int _0^{\pi} x\cos xdx[/tex]

Så bruker du delvis integrasjon på disse stykkene. Er rett fram!

På Første integralet fikk jeg: [tex]\,I\,=\,\int {1\over sin^2(x)}\,dx\,=\,{-cot(x)}\,+\,C[/tex]

for så vidt riktig - men dette involverer egentlig en [tex]\;\theta\,=\,tan({x\over 2})\,[/tex]substitusjon. Og den er litt heavy, iforhold til vanlig substitusjon:

[tex]I\,=\,\int({1+tan^2(x)\over tan^2(x)})\,dx[/tex]

u = tan(x) som gir du = (1 + tan[sup]2[/sup](x)) dx

[tex]I\,=\,\int{du\over u^2}\,=\,-{1\over u}\,+\,C\,=\,-{1\over tan(x)}\,+\,C\,=\,-cot(x)\,+\,C[/tex]

Og svaret på andre oppgave blir [symbol:pi] - 2 dersom du lurte.