Hvordan derivere arctan(x)?

[poeme]

Noen som har noen ide om hvordan man skal angripe dette problemet?

Finn g'(x) når g er gitt ved
g(x) = arctan(x)




-poeme

[sletvik]

Tenk på at f(x) invers er det samme som 1/f(x). I ditt tilfelle, (tan(x))[sup]-1[/sup] = 1/tan(x)

[tregnif]

Tenk på at f(x) invers er det samme som 1/f(x). I ditt tilfelle, (tan(x))[sup]-1[/sup] = 1/tan(x)

tan^-1 x er jo ikke det samme som 1/tan x! tan^-1 er bare en skrivemåte, det har ingenting med 1/tan x (=cot x) å gjøre!

Når du skal derivere arctan x (uten å slå opp i en formelsamling) må du derivere implisitt. Prøver å forklare her:

y=arctan x Vi skal finne dy/dx
Skriver om til
x=tan y

Derivere begge sider:
d/dx(x)=d/dx(tan y)
1=d/dy(tan y)*dy/dx
1=1/cos^2 y dy/dx (Det kan du vise med kvotientregelen)
Løse med hensyn på dy/dx (Det er jo den vi er ute etter)
dy/dx=cos^2 y
Bytte ut cos^2 y etter formelen tan^2 x +1 = (1/cos^2 x)
dy/dx=1/(tan^2 x +1)
og tan x=x (fra tidligere (10-15 linjer opp))
dermed er tan^2 x =x^2
og vi får

dy/dx=1/(1+x^2)

[sletvik]

Du har selvfølgelig helt rett , noe som får meg til å tenke på at skrivemåten (tan(x))[sup]-1[/sup] i betydningen arctan(x) egentlig ikke burde brukes...noen var jo bare dømt til se på tan[sup]-1[/sup](x) og (tan(x))[sup]-1[/sup] som det samme.

[Kekka]

Derivere begge sider:
d/dx(x)=d/dx(tan y)
1=d/dy(tan y)*dy/dx
1=1/cos^2 y dy/dx (Det kan du vise med kvotientregelen)

Dette skjønner jeg ikke helt... sannsynligvis er det notasjonen jeg har vanskelig for å skjønne.
Nå har jeg skrevet om g(x)= arctan x til x= tan g(x). Neste skritt er å derivere. Jeg ville brukt kjerneregelen h(x)=f(g(x)) -> h'(x)=f'(g(x))*g'(x), og dermed fått:
x'=tan'(g(x))*g'(x)
1=(sin x/cos x)'*g'(x)
1=1/(cos^2(x))*g'(x)
(cos^2(x))*g'(x)=1
g'(x)=1/(cos^2(x))

[ThomasB]

Se også denne tråden, der samme fremgangsmåte er brukt på en annen invers funksjon. Samme knepet står beskrevet der med en litt annen forklaring...