matematikk.net

En partikkel beveger seg langs en en ellipse med store halvakse (x-aksen) a=3 og lille halvakse (y-aksen) b=2

Posisjonen er gitt ved vektorfunksjonen

r(t)=[3 cos t,2 sin t] der t er tida

Banefarten er gitt ved v(t)=|v(t)|=|r'(t)|


1) Hvor på ellipsen er banefarten størst, og hvor er den minst?

[tex]r(t) = \[3\cos t \ ,\ 2\sin t\][/tex]

[tex]v(t) = r^\prime(t) = \[(3\cos t)^\prime \ ,\ (2\sin t)^\prime\] = \[-3\sin t \ ,\ 2\cos t\][/tex]

[tex]f(x) = |v(t)| = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (2\cos t)^2}[/tex]

[tex]f(x) = \sqrt{9\sin^2 t + 4\cos^2 t}[/tex]

[tex]f(x) = \sqrt{9\sin^2 t + 4(1 - \sin^2 t)}[/tex]

[tex]f(x) = \sqrt{5\sin^2 t + 4}[/tex]

Banefarten størst i toppunktet til |v(t)|. Dette finner du ved å derivere f(x) og finne toppunkt/bunnpunkt slik du er vant med.

TA EN TITT på linken også:

http://www27.brinkster.com/oyro/cdtest/ ... _lover.htm

sEirik skrev:[tex]r(t) = \[3\cos t \ ,\ 2\sin t\][/tex]

[tex]v(t) = r^\prime(t) = \[(3\cos t)^\prime \ ,\ (2\sin t)^\prime\] = \[-3\sin t \ ,\ 2\cos t\][/tex]

[tex]f(x) = |v(t)| = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (2\cos t)^2}[/tex]

[tex]f(x) = \sqrt{9\sin^2 t + 4\cos^2 t}[/tex]

[tex]f(x) = \sqrt{9\sin^2 t + 4(1 - \sin^2 t)}[/tex]

[tex]f(x) = \sqrt{5\sin^2 t + 4}[/tex]

Banefarten størst i toppunktet til |v(t)|. Dette finner du ved å derivere f(x) og finne toppunkt/bunnpunkt slik du er vant med.

Og hvordan deriverer man den? Må man innføre en "u"?

forsåvidt.
Men det er egentlig unødvendig!

Alt som er nødvendig er å finne maksimum for radikanden (det som står innunder rot-tegnet), som åpenbart inntreffer når kvadratet av sinus er lik 1.

arildno skrev:forsåvidt.
Men det er egentlig unødvendig!

Alt som er nødvendig er å finne maksimum for radikanden (det som står innunder rot-tegnet), som åpenbart inntreffer når kvadratet av sinus er lik 1.

Kremt, og hvordan ser man det? Og hvordan ser man minimum?

Hvordan kunne jeg forresten løst denne oppgaven med en Texas TI-84 kalkulator?

Man ser det gjennom:
1. Å vite at sinus varierer mellom minus 1 og 1
2. At dermed kvadratet av sinus ligger mellom 0 og 1
3. At 1 er større enn 0
4. At roten av et større tall er større enn roten av et mindre tall.

Tilsvarende må minimum intreffe når kvadratet av sinus er 0.