Integrasjon

[LGO]

Jeg skal beregne integralet: [itgl][/itgl](x[sup]3[/sup]-4x[sup]2[/sup]+10x+2)/(x[sup]2[/sup]-4x+8).

Ved hjelp av polynomdivisjon har jeg fått det på formen: x+(2x+2)/(x[sup]2[/sup]-4x+8).

Siden jeg ikke kan faktorisere nevneren uten å bruke komplekse tall, antar jeg at jeg må løse dette ved hjelp av substitusjon. Jeg har da prøvd meg med u=nevneren, og du=2x-4. Men hvordan kan jeg da gå fram videre? Telleren har jo ikke et negativt ledd, slik som du?

[dischler]

Måten å løse slike integraler på står som regel nøye forklart i alle kalkulus bøker. Det pleier å bli en side eller to for å vise framgangsmåten i detalj, så jeg foreslår at du finner en bok og slår det opp. Men ja, substisjonen du bruker er et av de sentrale poengene i å løse integralet.

[oro2]

Bruk delbrøksoppspalting på brøken. Så bruker du substitusjon på hver av de to brøkene etterpå.

[LGO]

Men hvordan kan jeg bruke delbrøksoppspalting når nevneren kun har komplekse løsninger? Hvordan skal jeg da få faktorisert den?

[ThomasB]

Nullpunktene er komplekse, fortsatt gjelder det jo at du kan skrive faktoriseringen:

(x-a)(x-b) der a og b er nullpunktene.

Tror bare det er å integrere på vanlig måte (selv om konstantene er komplekse), men det er vel ikke slik det er ment at du skal gjøre oppgaven. Skal se litt mer på den hvis ingen andre gjør det før meg...

[oro2]

Du skal ikke faktorisere den.
I dette tilfellet må du bruke samme nevner i begge delbrøker. Den en har første grad i teller (Ax+B), den andre har en konstant (C).

[LGO]

På dette kurset, så har vi ikke vært noe innom komplekse tall, så jeg antar det skal være en annen måte å gjøre det på. Takk.

[ThomasB]

Du skal ikke faktorisere den.
I dette tilfellet må du bruke samme nevner i begge delbrøker. Den en har første grad i teller (Ax+B), den andre har en konstant (C).

Den siste brøken kan ikke delbrøksoppspaltes, det skal brukes substitusjon. Denne har jo allerede et uttrykk av første grad i teller her, går ikke an å forenkle noe mer. (dischler sitter her og hjelper meg litt )

[oro2]

Ops ja delbrøksoppspalting var kanskje ikke rett betegnelse her. Men å dele den i to går an: med en teller på (2x-4) og en på 6. Slik at substitusjon går lett på begge.

[ThomasB]

Ja, nå er jeg enig. Er du med nå Linda?

Altså knepet er: (2x+2) = (2x-4) + 6

Nå har du fått telleren du ville ha, den siste brøken (med 6 i telleren) løses på andre måter.

[LGO]

Tusen takk! Da skal jeg sette meg ned og regne på det igjen.

[LGO]

Etter diverse regning, har jeg nå fått et svar som stemmer.

Men det er en ting jeg grubler litt på. Slik som det siste leddet, der jeg hadde 6 som teller, så må jeg få nevneren på formen k(u[sup]2[/sup]+1), får å finne det leddet jeg ønsker å substituere. Hvorfor er det akkurat den formen på nevneren som vil gi meg det jeg ønsker å substituere med?

[oro2]

Det er fordi den deriverte av arctan(x) er 1/(1+x[sup]2[/sup])

[LGO]

ahh..selvfølgelig. Takk. Hjelper ikke å gjøre ting mekanisk, dersom man ikke skjønner hva man driver med.