matematikk.net

Hei!
Jeg har fått denne oppgaven: (x/a)[sup]2[/sup] + (y/b)[sup]2[/sup] =1 Påvis at arealet til en slik ellipse er gitt ved formelen [pi][/pi]ab
a og b er halvakser i ellipsen.
Mvh Lazy

hint:

A = [itgl][/itgl]dA = 2*[itgl][/itgl]ydx der du integrerer mellom nullpunktene.

Dersom man integrerer en funksjon y(x) over et intervall på x-aksen så får man arealet under grafen. Dette er noe av det første man lærer når man kommer borti integraler!

Altså:

omformerer uttrykket:

y(x) = b[rot][/rot](1-(x/a)[sup]2[/sup])

Denne integreres fra x=-a til a (fordi da er y=0 og slutter å være definert)

altså:

A = 2[itgl][/itgl]b[rot][/rot](1-(x/a)[sup]2[/sup])dx der x går fra -a til a

2-tallet skyldes at vi også må ta med tilsvarende areal på undersiden av x-aksen.

Nå gjenstår bare å integrere, som gjøres ved å slå opp i en tabell eller å substituerer x/a = sin(u)

Det er litt vanskelig for oss å vite hvilket nivå denne oppgaven er gitt på da, fint om dere skriver om det er 2.klasse-matematikk eller universitet f.eks.

En enkel måte å se det på er følgende betraktningsmåte. Den gjøres uten å integrere, men er heller ikke noe bevis (burde likevel være bra nok for videregående):

En ellipse med halvakser a og b er en sirkel med radius a som er skalert ("strekt" eller "krympet") med en faktor (b/a) i y-retning. Arealet blir derfor også skalert med samme faktor:
Areal = Areal av sirkel med radius a * (b/a) = [pi][/pi]*a[sup]2[/sup]*(b/a) = [pi][/pi]ab