matematikk.net

Jeg tenker opp og ned, men kommer ingen vei. Kan noen hjelpe meg?

Oppgaven:
En fabrikk lager kasser uten lokk av kvadratiske papplater med side 60 cm. En maskin skjærer vekk hjørnene av papplatene. En annen maskin bretter opp sideflatene og fester dem. Vi regner med at sideflatene ikke overlapper hverandre.
a)Forklar volumet av pappkassene, målt i cm^3 er gitt ved
V(x)=x(60-2x)^2
b) hvor mye må maskinen skjære bort av hjørnene for at pappkassene skal inneholde 10dm^3?
d) Finn V`(x)
e) finn ved regning hvor mye som må skjæres vekk for at volumet av pappkassene skal bli størst mulig. hvor stort er volumet da?

Hvis du har en papplate med 60cm på hver side, og bretter opp kanter på kvadratet med lengde x, er du enig i at en bunnplate vil ha lengden (60-2x)da?

Da har du i så fall lengden av boksen som skal skapes. Og hvordan finner man volumet av en boks? Jo, Lengde*Bredde*Høyde.

Siden den er kvadratisk blir det (60-2x)^2*høyde. Og høyden er jo så klart x. Så V=x(60-2x)^2


Nå ser du at du kan putte inn hvilke som helst verdier for x, for så å finne volumet av boksen. Men du vil finne ut når volumet blir STØRST. så det du må gjøre er å finne ut for hvilken x-verdi funksjonen f(x)=x(60-2x)^2 er størst. Det vil så klart være i et toppunkt. Og hvordan finner man topp, og bunnpunkt? Jo, man deriverer funksjonen.

Først løser du denne funksjonen til et ufaktorisert uttrykk:

f(x)= 3600x-240x^2+4x^3
Så deriverer du:
f(x) = 3600 -480x+12x^2
Så finner du ut når den deriverte blir 0:
3600 -480x+12x^2 = 0

x=10
x=30

Du kan egentlig se at hvis sidene x = 30 så vil volumet være 0, siden (60-2*30) = 0
Så du kan egentlig konstantere at sidene x må være 10 cm. Men for sikkerhets skyld setter vi opp en fortegnslinje:

Finn ut hvor den stiger eller synker:

_________________10____________________30__________
12+++++++++++++++++++++++++++++++++++++
x-10-------------------0+++++++++++++++++++++++++
x-30---------------------------------------------------0+++++++
12(x-10)(x-30)++++0------------------------------0+++++++

Du ser at toppunktet er 10. Da kan du si at x må være 10 for at volumet skal være størst.

Hvordan du finner ut når volumet er 10dm^3 er ikke jeg sikker på. Men du kan alltids gjøre det på kalkukator ved å lage en funksjon i tillegg til f(x)= x(60-2x)^2 som er 10dm^3 = 1000cm^3 Altså en funksjon f(x)=1000 og se hvor den krysser volumfunksjonen.