Greit formulert spørsmål
[tex]\v r (t) = \[t^2 - 4\ ,\ t^3 - 4t\] \quad \quad t \in \<-3\ ,\ 3\>[/tex]
Vi vil finne tangentene i origo. Da må vi først finne ut hvilke t-verdier r(t) krysser origo for:
[tex]\v r (t) = \[0\ ,\ 0\][/tex]
[tex]t^2 - 4 = 0 \ \wedge \ t^3 - 4t = 0[/tex]
[tex]\left (t = -2\ \vee \ t = 2 \right ) \ \wedge \ \left ( t = -2 \ \vee \ t = 0 \ \vee \ t = 2 \right )[/tex]
Siden 0 kun er med på høyresiden, får vi løsningene
[tex]t = -2\ \vee \ t = 2[/tex]
Så finner du den deriverte i disse punktene.
[tex]\v r^\prime (t) = \[2t\ ,\ 3t^2 - 4\][/tex]
[tex]\v r^\prime (-2) = \[-4\ ,\ 8\][/tex]
[tex]\v r^\prime (2) = \[4\ ,\ 8\][/tex]
Tangentene har stigningstall hhv. [tex]\frac{8}{-4} = -2[/tex] og [tex]\frac{8}{4} = 2[/tex]. Begge passerer origo, og har derfor b = 0.
Da blir likningene:
(1) [tex]y = -2x[/tex]
(2) [tex]y = 2x[/tex]
Så skal vi finne alle punkter som har tangenter som er parallelle med disse to. Tangentene må da være parallelle med [tex]\[-4\ ,\ 8 \][/tex] eller [tex]\[4\ ,\ 8\][/tex]:
[tex]\v r^\prime (t)\ || \ \[-4\ ,\ 8 \] \ \ \vee \ \ \v r^\prime (t)\ || \ \[4\ ,\ 8 \][/tex]
[tex]\[2t\ ,\ 3t^2 - 4\] = k \cdot \[-4\ ,\ 8\]\ \ \vee \ \ \[2t\ ,\ 3t^2 - 4\] = n \cdot \[4\ ,\ 8\][/tex]
[tex]( 2t = -4k\ \wedge \ 3t^2 - 4 = 8k ) \ \vee \ ( 2t = 4k\ \wedge \ 3t^2 - 4 = 8k )[/tex]
Vi ser på den første:
(1) [tex]2t = -4k[/tex]
(2) [tex]3t^2 - 4 = 8k[/tex]
Vi ser av (1) at [tex]k = -\frac{1}{2}t[/tex]
[tex]3t^2 - 4 = 8(-\frac{1}{2}t)[/tex]
[tex]3t^2 + 4t - 4 = 0[/tex]
[tex]t = \frac{1}{3} \ \vee t = -2[/tex]
Altså finnes det parallelle tangenter for punkter med disse to t-verdiene.
Gjør tilsvarende for den andre tangenten.
Med forbehold om en masse feil
