matematikk.net

Kan noen forklare hvorfor løsningen av eksponentiallikningen (5/6)x = 0,5 forteller hvor mange kast som skal til rent teoretisk for at antallet terninger blir halvert?

På forhånd takk

Du har veldig mange terninger, kaster dem og fjerner alle som viser 6 eller noe sånt?

Det stemmer

Ok.

Si at du har 600 terninger da, for å gjøre oppgaven litt mer konkret.

Du kaster alle 600 terningene på en gang (dette hadde vært gøy å prøve i praksis, hvis du hadde noen til å telle for deg), og en viss andel av terningene vil vise 6. Siden det er 1/6 sjanse for at en terning viser 6, forventer vi at dette er ca. 100 terninger. Da står vi igjen med ca. 5/6 av terningene, de som ikke viste 6, altså står vi igjen med ca. 500 terninger.

Vi har nå ca. [tex]600 \cdot \frac{5}{6} = 500[/tex] terninger, og x = 1, siden vi har gjort ett kast. Vi kaster terningene igjen.
Vi får sekser på ca. 1/6 av disse 500 terningene, altså står vi igjen med 5/6 av de 500 terningene. Vi står igjen med [tex]500 \cdot \frac{5}{6} = 600 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = 600 \cdot (\frac{5}{6})^2[/tex]. Nå er [tex]x = 2[/tex].

Neste kast forsvinner 1/6 av de terningene som er igjen, altså multipliseres stykket med 5/6 en gang til, slik som ovenfor. Og så videre, og så videre.

Vi ser at etter x kast, så har vi igjen ca. [tex]600 \cdot (\frac{5}{6})[/tex] terninger. Men vi kunne like godt ha startet med 1200 terninger, eller 40 000. Tankegangen blir jo den samme. Si at vi startet med n terninger.
Etter x kast har vi da igjen omtrent [tex]n \cdot (\frac{5}{6})^x[/tex] terninger. Oppgaven er da å finne ut hvor mange kast vi trenger for å få halvert antall terninger.

Hvis vi startet med n terninger, skal vi altså få n/2 terninger. Da blir likningen:

[tex]n \cdot (\frac{5}{6})^x = \frac{n}{2}[/tex]

Siden n er et tall større enn null, kan vi dele på det:

[tex](\frac{5}{6})^x = \frac{1}{2}[/tex]

Løsningen av denne likningen gir altså antall kast som kreves. (Men da antar vi at nøyaktig 1/6 av terningene vil vise 6 etter hvert kast, dette er jo sjelden tilfellet i praksis.)