matematikk.net

Klarer ikke helt å følge teorien bak denne løsningen av 1.ordens differensiallikning :

y' + f(x) y = g(x)

Denne likningen løses ofte med en spesiell metode som som bygger på produktformelen :

y=uv => y' = u'v + uv'

Når man setter dette inn i differensiallikningen ,får man :

u'v + uv' + f(x)uv = g(x) => (u' + f(x)u)v +uv' = g(x)


Nå kommer det merkelige :

Hvorfor kan man skrive dette likningssystemet som to likningsett ?

Tilhørende homogen likning : u' + f(x)u = 0
Den andre likningen : uv' = g(x)

Jeg har aldri sett denne metoden før, men dersom du kan finne løsninger av du to ligningssettene du snakker om (altså finne u fra den første og v fra den andre) så vet du at y=uv løser den opprinnelige diffligninga (dette følger direkte).

Hvorvidt denne framgagnsmåten ekskluderer visse løsninger vet jeg ikke, men det rekker jeg ikke å se mer på nå. Det viktige er uansett at det virker.

Det virker veldig lite logisk at man kan sette et ledd lik null, uten at dette får konsekvenser for løsningen.

Konsekvensen for løsningen måtte i såfall bli at du ikke finner alle løsninger eller at de ikke finner noen (altså ingen u eller v som oppfyller du to separate ligningene) selv om det kanskje finnes en y som oppfyller den opprinnelige ligninga.

MEN: dersom du finner en u og v som løser de to siste ligningene så vil en y=uv løse den opprinnelige diffligninga! Hvis ikke dette er opplagt så er det bare å kjøre det opprinnelige argumentet ditt baklengs, altså starte med de to separate ligningene og ende opp med den opprinnelige diffligninga.

Jeg synes denne metoden virker veldig begrensende. Det må være mye bedre å gange ligningen med faktor e[sup][itgl]f(x)dx[/itgl][/sup], og deretter bruke produktregelen.

Madonna skrev:Det virker veldig lite logisk at man kan sette et ledd lik null, uten at dette får konsekvenser for løsningen.

Må visst endre det jeg egentlig skrev her:
Metoden er faktisk generell, det virker som den er helt ekvivalent med metoden Bernoulli beskriver (som er den metoden jeg har brukt selv tidligere)

Begrunnelse:
Hvis du løser ligningen med metoden til Bernoulli får du et generelt uttrykk for y. Hvis du løser de to likningene du har over får du samme generelle uttrykk for y.