matematikk.net

Noen som kan kikke på denne?

I Solvika er det bare 2 typer vær, sola skinner, eller det regner.
Dersom sola skinner en dag, er det 75% sjangse for at den også skinner neste dag.
Dersom det regner en dag, er det 55% sjangse for at sola skinner neste dag.
Det viser seg at sola skinner fredag den 13 mai.

a) Hva er sannsynligheten for at sola skinner søndag 15.mai. ??
b) Hva er sannsynligheten for at sola skinner mandag 16.mai ??

På forhånd takk )

a)
Tolker den slik:

Dette kan skje på to mulige måter, enten så er det sol hver dag etter 13. mai, eller det er regn den 14. og sol den 15. Sannsynligheten blir da:

sol-sol-sol = 0.75^2
sol-regn-sol = 0.25 * 0.55

[tex]P = 0.75^2 + (0.25 \ \cdot \ 0.55) = 0.70[/tex]

b)

Dette kan skje på fire måter:

sol-sol-sol-sol = 0.75^3 = 0.423
sol-regn-sol-sol = 0.25 * 0.55 * 0.75 = 0.103
sol-sol-regn-sol = 0.75 * 0.25 * 0.55 = 0.103
sol-regn-regn-sol = 0.25 * 0.45 * 0.55 = 0.061

[tex]P = 0.423 + 0.103 + 0.103 + 0.061 = 0.69[/tex]

Something like that.

Jeg var veldig i tvil på hvordan jeg skulle tolke denne oppgaven...
Og regnet først ut fra Sol hver dag etterhverandre.
Kikker litt på dette...
Tusen hjertelig takk for hjelpen

Her har vi en koselig sannsynlighetsmodell der vi kan bruke følger

La [tex]a_n[/tex] være sannsynligheten for at sola skinner n dager etter fredag den 13. mai. Da er sannsynligheten [tex]1 - a_n[/tex] for at det regner på dag nr. n.

Da er [tex]a_0 = 1[/tex] (Det er 100 % sannsynlighet for at sola skinner den 13. mai.)

Det er 2 måter det kan være sol på dag n+1 på:

1) Det regner på dag n, det er da 0.55 sannsynlighet for at sola skinner neste dag
2) Det er sol på dag n, det er da 0.75 sannsynlighet for at sola skinner neste dag.

[tex]a_{n+1} = 0.75a_{n} + 0.55(1 - a_n)[/tex]

[tex]a_{n+1} = 0.75a_n - 0.55a_n + 0.55[/tex]

[tex]a_{n+1} = 0.2a_n + 0.55[/tex]

[tex]a_{n+1} - 0.2a_n = 0.55[/tex]

Vi har en lineær, inhomogen førsteordens differenslikning. Vi tipper partikulær løsning på formen

[tex]x_n^p = A[/tex]

[tex]A - 0.2A = 0.55[/tex]

[tex]A = \frac{0.55}{1 - 0.2} = 0.6875[/tex]

Løsningen av den tilsvarende homogene differenslikningen er

[tex]x_n^h = C \cdot 0.2^n[/tex]

Altså er den generelle løsningen

[tex]x_n = C \cdot 0.2^n + 0.6875[/tex]

Siden [tex]x_0 = 1[/tex], får vi

[tex]1 = C^0 + 0.6875 = C + 0.6875[/tex], [tex]C = 1 - 0.6875 = 0.3125[/tex]

Dette gir den spesielle løsningen av differenslikningen

[tex]x_n = 0.3125 \cdot 0.2^n + 0.6875[/tex]

Nå som grovarbeidet er gjort, har vi en fin formel vi kan bruke videre...

a) Søndag 15. mai er to dager etterpå, altså er n = 2. Sannsynligheten for at sola skinner er

[tex]x_2 = 0.3125 \cdot 0.2^2 + 0.6875 = 0.7[/tex]

b) Her er n = 3. Sannsynligheten for at sola skinner er
[tex]x_3 = 0.3125 \cdot 0.2^3 + 0.6875 = 0.69[/tex]

Grunnen til at zell har fått feil er kombinasjonen
sol-regn-regn-sol = 0.25^2 * 0.55 = 0.034.
Zell har tatt utgangspunkt i at hvis det regner, vil det regne neste dag med sannsynlighet 0.25, men denne sannsynligheten er jo 0.45. Altså vil kombinasjonen sol-regn-regn-sol gi sannsynligheten 0.25 * 0.45 * 0.55 = 0.062.

Men med min formel kan du finne sannsynligheten for at det er sol gitt en hvilken som helst dag etter 13 mai.

Selv om det ikke nødvendigvis er vdg-pensum å løse differenslikningen. Men kanskje min løsning faller i smak hos noen av de som har vært innom universitetet?

Spesielt viktig er det jo å vite sannsynligheten for at det er sol på 17. mai!

Denne er da [tex]x_4 = 0.3125 \cdot 0.2^4 + 0.6875 = 0.688[/tex]. Altså 68,8 % sannsynlighet.

Og vi kan også bruke denne modellen til å fastslå sannsynligheten for at det er sol en gitt dag - vi ser at følgen konvergerer.

Anta at det en eller annen dag for ca. 3000 år siden var sol. Sannsynligheten for at det er sol i dag, blir da ca.

[tex]x_{365.25 \cdot 3000}[/tex]. Eksponenten til 0.2 blir veldig stor, og da går dette leddet mot null. Vi ser altså at

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 0.6875[/tex].

En gitt dag er det altså 68.75 % sannsynlighet for at det er sol.

my bad..

Lekkert svar sEirik

wow imponert *bøyer meg i støvet*

Tusen takk...

likte spes. godt den med 17 mai...

Kan ikke denne oppgaven løses litt lettere uten den formelen??
Jeg forstod den ikke helt, jeg...