To parameterframstilling skal være ortogonale!

[uranus89]

Hei!
På heldagsprøven fikk jeg en oppg. som sier at jeg skal finne en annen paramterframstilling som står vinkelrett på en som jeg har fått oppgitt. slik lyder oppgaven.

linje m: x = 2 + 8t , y= 9/4 + 3t

finn enparameterframstilling for ei linje k som står normalt på m og som går gjennom punktet (4,3)

håper noen kan hjelpe meg. takk på forhånd!

[sEirik]

Hvis m har retningsvektor [8, 3] vil linja som står normalt på denne, k, ha retningsvektor f.eks. [3, -8]. (Du bytter om på komponentene og forandrer fortegn til den ene komponenten. Da er det lett å vise at komponentene står normalt på hverandre)

Hvis den i tillegg går gjennom punktet (4 , 3) får du parameterfremstillingen

x = 4 + 3t
y = 3 - 8t

[uranus89]

ja, det tenkte jeg også på. men er vel for lett til å være sant?
så har en kamerat av meg sagt at produktet av begge stigningstallene skal være -1?

men, når jeg tegner den opp på kalkulator:p så ser dei kke særig ortogonale ut!

x = 4 - 3t
y = 3 + 8t

er dette også en mulighet?

[sEirik]

De ser veldig ortogonale ut på min kalkulator. Skal vedde på at du ikke har samme avstand på x-aksen og y-aksen. Da ser de ikke så ortogonale ut. Husk at på casio må avstanden på x-aksen være dobbelt så stor som på y-aksen; hvis du tegner med x fra -20 til 20 og y fra -10 til 10 bør det bli riktig.

[SUPLOLZ]

Tegn opp linjene manuelt i et koordinatsystem er mitt tips.

[Frank KJ]

Hei!
På heldagsprøven fikk jeg en oppg. som sier at jeg skal finne en annen paramterframstilling som står vinkelrett på en som jeg har fått oppgitt. slik lyder oppgaven.

linje m: x = 2 + 8t , y= 9/4 + 3t

finn enparameterframstilling for ei linje k som står normalt på m og som går gjennom punktet (4,3)

håper noen kan hjelpe meg. takk på forhånd!

uranus89 jeg har en anelse om at vi kanskje går på samme skole, for jeg fikk også en helt lik oppgave på mattetentamen (fredag 11.05.07). Jeg tror jeg gjorde noen helt ville utregninger på den siste oppgaven der! Slik løste jeg den:

Først fant jeg en retningsvektor og likningen for linja m

[tex]\vec{m} = [6, \frac{9}{4}][/tex]

[tex]y_m = \frac{3}{8}x + \frac{3}{2}[/tex]

Så parallellforskjøv jeg linja [tex]y_m[/tex] oppover med 1 enhet, altså [tex]y_k = y_m + 1[/tex]

[tex]y_k = y_m + 1 = \frac{3}{8}x+\frac{3}{2}+1[/tex]

[tex]y_k = \frac{3}{8}x+\frac{5}{2}[/tex]

Dermed vet vi at linjene y_m og y_k er parallelle. Så fant jeg fram et punkt T som måtte befinne på linja y_k. Så koordinatene til T blir derfor [tex]T(x, y_k)[/tex] <=> [tex]T(x, \frac{3}{8}x+\frac{5}{2})[/tex].
Fra opplysningene fra oppgaven vet vi at linja k går igjennom punktet P(4, 3), og at k og m står vinkelrett på hverandre. Retningsvektoren for k finner vi lett ved å ta punktet T minus punktet P.

[tex]\vec{k} = [x, \frac{3}{8}x+\frac{5}{2}]-[4,3][/tex]

[tex]\vec{k} = [x-4, \frac{3}{8}x-\frac{1}{2}][/tex]

Vi vet at skalarproduktet av retningsvektorene k og m erlik 0.

[tex]\vec{k} \cdot \vec{m} = 0[/tex]

[tex][x-4, \frac{3}{8}x -\frac{1}{2}]\cdot [6, \frac{9}{4}]=0[/tex]

[tex](x-4)6 + (\frac{3}{8}x-\frac{1}{2})\frac{9}{4} = 0[/tex] Vi løser likninger og får

[tex]x = \frac{804}{219} = \frac{268}{73}[/tex]

Nå kan vi endelig finne retningsvektoren for linja k ved å sette x inn i [tex]\vec{k}=[x-4,\frac{3}{8}x-\frac{1}{2}][/tex], da får vi

[tex]\vec{k} = [-\frac{24}{73}, \frac{512}{584}][/tex]

Og tilslutt finner vi en parameterframstilling på helt vanlig måte, altså ved å sette et helt vilkårlig punkt
Q(x,y) et sted på linja k, og dermed bruke definisjonen for to parallelle vektorer

[tex]\vec{QP} = \vec{k}\cdot t [/tex]

[tex][x-4,y-3]=[-\frac{24}{73}t,\frac{512}{584}t][/tex]

Vi får parameterframstillingen

[tex]x = -\frac{24}{73}t + 4[/tex] og [tex]y = \frac{512}{584}t+3 [/tex]

som utrolig nok gir den samme linja som parameterframstillingen til sErik. Vi har ikke skole i morgen, right? I så fall burde jeg legge meg nå =P

[uranus89]

Hei!
På heldagsprøven fikk jeg en oppg. som sier at jeg skal finne en annen paramterframstilling som står vinkelrett på en som jeg har fått oppgitt. slik lyder oppgaven.

linje m: x = 2 + 8t , y= 9/4 + 3t

finn enparameterframstilling for ei linje k som står normalt på m og som går gjennom punktet (4,3)

håper noen kan hjelpe meg. takk på forhånd!

uranus89 jeg har en anelse om at vi kanskje går på samme skole, for jeg fikk også en helt lik oppgave på mattetentamen (fredag 11.05.07). Jeg tror jeg gjorde noen helt ville utregninger på den siste oppgaven der! Slik løste jeg den:

Først fant jeg en retningsvektor og likningen for linja m

[tex]\vec{m} = [6, \frac{9}{4}][/tex]

[tex]y_m = \frac{3}{8}x + \frac{3}{2}[/tex]

Så parallellforskjøv jeg linja [tex]y_m[/tex] oppover med 1 enhet, altså [tex]y_k = y_m + 1[/tex]

[tex]y_k = y_m + 1 = \frac{3}{8}x+\frac{3}{2}+1[/tex]

[tex]y_k = \frac{3}{8}x+\frac{5}{2}[/tex]

Dermed vet vi at linjene y_m og y_k er parallelle. Så fant jeg fram et punkt T som måtte befinne på linja y_k. Så koordinatene til T blir derfor [tex]T(x, y_k)[/tex] <=> [tex]T(x, \frac{3}{8}x+\frac{5}{2})[/tex].
Fra opplysningene fra oppgaven vet vi at linja k går igjennom punktet P(4, 3), og at k og m står vinkelrett på hverandre. Retningsvektoren for k finner vi lett ved å ta punktet T minus punktet P.

[tex]\vec{k} = [x, \frac{3}{8}x+\frac{5}{2}]-[4,3][/tex]

[tex]\vec{k} = [x-4, \frac{3}{8}x-\frac{1}{2}][/tex]

Vi vet at skalarproduktet av retningsvektorene k og m erlik 0.

[tex]\vec{k} \cdot \vec{m} = 0[/tex]

[tex][x-4, \frac{3}{8}x -\frac{1}{2}]\cdot [6, \frac{9}{4}]=0[/tex]

[tex](x-4)6 + (\frac{3}{8}x-\frac{1}{2})\frac{9}{4} = 0[/tex] Vi løser likninger og får

[tex]x = \frac{804}{219} = \frac{268}{73}[/tex]

Nå kan vi endelig finne retningsvektoren for linja k ved å sette x inn i [tex]\vec{k}=[x-4,\frac{3}{8}x-\frac{1}{2}][/tex], da får vi

[tex]\vec{k} = [-\frac{24}{73}, \frac{512}{584}][/tex]

Og tilslutt finner vi en parameterframstilling på helt vanlig måte, altså ved å sette et helt vilkårlig punkt
Q(x,y) et sted på linja k, og dermed bruke definisjonen for to parallelle vektorer

[tex]\vec{QP} = \vec{k}\cdot t [/tex]

[tex][x-4,y-3]=[-\frac{24}{73}t,\frac{512}{584}t][/tex]

Vi får parameterframstillingen

[tex]x = -\frac{24}{73}t + 4[/tex] og [tex]y = \frac{512}{584}t+3 [/tex]

som utrolig nok gir den samme linja som parameterframstillingen til sErik. Vi har ikke skole i morgen, right? I så fall burde jeg legge meg nå =P

Jeg kommer fra Sandefjord og går på Sandefjord VGS. Ser ut som du kommer fra Bærum?

[Frank KJ]

Hehe, ok da tok jeg veldig feil! Jeg går på stabekk vgs. Artig at vi fikk samme mattetentamen i år da:D

[uranus89]

Ja, kjempe artig egentlig. hvordan gikk tentamen for deg da? ser at du er flink, så det virker som du fikk 6? kan det stemme?

[Magnus]

Må nesten smile når jeg ser hva du har gjort Frank. Hehe. Artig.

[Frank KJ]

Ja, kjempe artig egentlig. hvordan gikk tentamen for deg da? ser at du er flink, så det virker som du fikk 6? kan det stemme?

Jeg har ikke fått vite karakteren ennå. Jeg vet jeg gjorde feil på en liten sannsynelighetsoppgave, men det skal vel fortsatt være mulig å få 6. Hvordan gikk det med deg, fått vite karakteren ennå?

Må nesten smile når jeg ser hva du har gjort Frank. Hehe. Artig.

Hehe, ja det kan vel kalles å gå litt rundt grøten! =P