matematikk.net

Hei trenger litt hjelp en del av en oppgave. Fint med en grundig forklaring. Det er bare alternativ c jeg ikke får til.

Et plan B er bestemt av tre punkter A(1,2,0) , B( 5,5,0) og C(-3,5,2).

a)Vis at [2, -4, 12] er en normalvektor for planet.
Vis at likningen 3x -4y .12z + 5 =0 gjelder for planet

b) En kuleflate tangerer planet B i et punkt P. Kuleflaten har likningen
x^2 + y^2 + z^2 -14x -2y +60z + k=0 der k er en konstant
Bestem sentrum i kula (fasit S(7,1,-30) )

c) Finn konstanten k (fasit: k = 274)

Normalvektoren til planet, [3,-4,12] er retn.vektor til en normal n som går igjennom punktene S(sentrum i kula) og P. Siden S=(7,1,-30) får vi en parameterfremstilling for n slik:

x= 7 + 3t
y= 1 - 4t
z= -30 + 12 t

Vi setter uttrykkene for x,y og z inn i likningen for planet for å finne skjæringspunktet mellom planet og normalen (dette blir punktet P):

3(7+3t)-4(1-4t)+12(-30+12t)+5=0

21+9t-4+16t-360+144t+5=0

169t=338

t=2

Vi finner skjæringspkt:

x= 7+3*2 = 13
y= 1-4*2 = -7
z=-30+24*2=-6

Skjæringspunktet P er (13,-7,-6)

Avstanden PS er da lik absoluttverdien av PS-vektor = [7-13, 1-(-7), -30-(-6)]=[-6,8,-24], altså kvadratrota av:

(-6)^2 + 8^2 + (-24)^2

Svaret her blir 26, ergo er radien i kula lik dette.

Likningen for kula var:

(x-7)^2 + (y-1)^2+ (z+30)^2=950-k

(950-k) er radien opphøyd i andre, ergo er kvadratrota av (950-k) lik 26. Vi kvadrerer på begge sider av likningen og får at 950-k=676. Svaret blir da 274

Håper det ble forståelig...

Takk for hjelpen, skjønte det nå.