Derivasjon av naturlige logaritmer

[eARNIE]

Deriver den her for meg:

2ln(x^2-1)

personlig tror jeg at den skal løses slik, men har ingen fasit så vil høre hva dere tror:

litt utenom:
den deriverte av lnx = 1/x
den deriverte av 2lnx= 2/x

Derfor er svaret etter mitt syn:

2/(x^2-1)

[zell]

[tex]f(x) = 2\ln{(x^2 - 1)}[/tex]

[tex]u = x^2-1 \ , \ u^, = 2x[/tex]

[tex]f^,(u) = 2(\ln{u})^, \ \cdot \ u^, = \frac{2}{u} \ \cdot \ u^,[/tex]

[tex]f^,(x) = \frac{2}{x^2 -1} \ \cdot \ 2x = \frac{4x}{x^2-1}[/tex]

[Lord X]

Sier bare at det er en funksjon f(x) for å gjøre det litt "enklere":

f(x)=2ln(x^2-1)

f'(x)=2* (ln u)' * u' der u=x^2-1 og u'=2x

f'(x)=2*(1/u)*2x=4x/(1/u)=(4x)/(1/x^2-1)

(bruker kjerneregelen)

[Chepe]

For å derivere denne må du bruke kjerneregelen:

[tex]f(x)=2 \ln (x^2-1)[/tex]

Vi setter da [tex]u=x^2-1[/tex] og [tex]u^,=2x[/tex]

[tex]f^,(x)=(2 \ln u)^,=2\cdot \frac1u\cdot u^,=\frac{2}{(x^2-1)}\cdot 2x=\frac{4x}{x^2-1}[/tex]

Et tips dersom du vil sjekke om du har derivert riktig er å derivere på kalkulatoren, bare sett in en tilfeldig x-verdi (gjerne en lav) og se om du får det samme svaret når du setter inn denne verdien for x i det resultatet du kom frem til. Bare pass på i dette tilfellet å ikke sette x=1 siden funksjonen ikke er definert for denne verdien.

[nilsma]

Jeg sliter litt med en liten oppgave her. Tror jeg roter litt med regnereglene og lurer dermed på om noen kan si et par ord om det nedenfor:

NB: Jeg søkte litt etter lignende, men denne tråden var vel det nærmeste jeg fant akkurat nå - så derfor postet jeg denne her.

siden

[tex]f(x)= lnx \, \rightarrow \, f^,(x)= \frac{1}{x}[/tex]

så blir

[tex]f(x)= 2lnx \, \rightarrow \, f^,(x)= \frac{2}{x}[/tex]
[tex]fordi: \, 2lnx = 2 \cdot lnx \rightarrow \, 2 \cdot \frac{1}{x}[/tex]

så mitt spørsmål, forutsatt at de to over stemmer, er da:

[tex]f(x)=ln2x \, \rightarrow \, f^,(x)= \frac{1}{x}[/tex]
[tex]fordi: \, ln2x = ln2 \cdot x = ln2 + lnx = K + \frac{1}{x} \,?[/tex]
Fasit: [tex]f^,(x)= \frac{1}{x}[/tex]

Og hvorfor blir da:

[tex]f(x)=ln(x+1) \, \rightarrow \, f^,(x)= \frac{1}{x+1} \,?[/tex]
Fasit: [tex]f^,(x)= \frac{1}{x+1}[/tex]

Håper dette ga mening, og håper noen kan fortelle meg hvor jeg eventuelt har gått feil her.

PS: De to siste er fasitsvar fra lærebok CoSinus 2MX.

[daofeishi]

Det stemmer. Vi kan godt vise det på to måter:

Slik som du har gjort: [tex]\ln(2x) = \ln(2) + \ln(x)[/tex], og derivatet følger derfra.

Du kan og gjøre det ved kjerneregelen med kjerne (2x) - da får du at
[tex]f ^\prime (x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}[/tex]

Edit: siste gjør du enkelt med kjerneregelen, kjerne (x+1)

[nilsma]

Hehe ok tusen takk for svar, jeg trodde jeg skulle rekke å editere posten min bittelitt, men du var for rask

Men jeg får da ikke den siste til å stemme:

[tex]f(x)=ln(x+1)[/tex]
[tex]f^,(x)=ln(u)\cdot u^,[/tex]

Da får jeg:
[tex](x+1) \cdot 1 \, \rightarrow \, f^,(x)=x+1[/tex]

Fasit: [tex]f^,(x)= \frac{1}{x+1}[/tex]

argh, hva gjør jeg feil her

[nilsma]

eller er det fordi

[tex]f^,(x)=(x+1) \, = \, 1\cdot(x+1)^{-1} \, = \, \frac{1}{x+1}[/tex]

!

[Charlatan]

husk hva den deriverte til [tex]\ln{u}[/tex] er (!)

[nilsma]

nåh.

[tex]f(x)=ln(x+1)[/tex]
[tex]u=x+1 \, \rightarrow \, u^,=1[/tex]
[tex]f^,(x)=ln(u) \cdot u^,[/tex]
[tex]f^,(x)= \frac{1}{u} \cdot 1[/tex]
[tex]f^,(x)= \frac{1}{x+1} \cdot 1 \, = \, \frac{1}{x+1}[/tex]

Da er jeg vel i mål vel?

[Charlatan]

Der har du det!

[eiriklarsen]

For å derivere denne må du bruke kjerneregelen:

[tex]f(x)=2 \ln (x^2-1)[/tex]

Vi setter da [tex]u=x^2-1[/tex] og [tex]u^,=2x[/tex]

[tex]f^,(x)=(2 \ln u)^,=2\cdot \frac1u\cdot u^,=\frac{2}{(x^2-1)}\cdot 2x=\frac{4x}{x^2-1}[/tex]

Beklager å åpne en gammel tråd - men det overrasker meg at konstante 2 her ikke blir 0 når derivert. kjenner noen til grunnen til dette?

er ikke y=k > y'=0

[malef]

Jeg tror kanskje du tenker på konstantledd og ikke konstant? Ledd blir jo 0.

[eiriklarsen]

kalles ikke 2 og andre tall for konstant?

i stykket ovenfor, hvorfor blir ikke 2 til null når det deriveres?:-)

[Aleks855]

kalles ikke 2 og andre tall for konstant?

i stykket ovenfor, hvorfor blir ikke 2 til null når det deriveres?:-)

Konstanter deriveres.
Koeffisienter deriveres IKKE.

Denne forskjellen er ekstremt viktig.