Kaste ball i lufta

[Themaister]

Hvis man kaster en ball rett opp i lufta, med en fart på 20 m/s, hvor lang tid tar det før den faller ned igjen, hvis man ignorerer luftmotstand etc. g-kraften settes 10m/s^2.

Tror jeg vet, men vil bare vite om det er rett :S

[daofeishi]

Posisjon i høyderetningen er gitt ved
[tex]y = 20t - \frac{1}{2}\cdot10t^2[/tex]

Vi ønsker å finne det andre tidspunktet der y er 0
[tex]y = 20t - 5t^2 = 0 \\ t(4-t) = 0[/tex]

Etter 4 sekunder vil ballen være nede igjen.

[Olorin]

mente du før den faller ned(skifter retning) eller faller ned på bakken (igjen) =?

Uansett, den skifter retning når den vertikale farten er null
[tex]v_y = v_{\small{0y}}+a_y \cdot t[/tex]

[tex] t =\frac{v_y - v_{\small{0y}}}{a_y} = \frac{0-20\frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{-9.81\frac{\cancel{m}}{s^{\cancel{2}} }} = 2.04s [/tex]

[Charlatan]

Jeg fant en fin måte å løse det på

Akselerasjonen mot himmelen vil bli -10m/s^2

a(x) = -10

for å finne fartsfunksjonen integrerer vi a(x):

[symbol:integral]-10dx = -10x + c

v(x) = -10x + c

Hvor x er sekunder og V(x) er m/s mot himmelen.
vi vet at når x = 0, v(x) = 20

altså, når ballen blir kastet har den en hastighet på 20m/s
v(0) = -10*0 + c = 20 c=20

fartsfunksjonen blir da:

v(x) = -10x+20

For å finne ut når ballen er ved bakken integrerer vi dette for å finne s(t) avstandsfunksjonen:

[symbol:integral](-10x+20)dx = -5x^2+20x + c
s(x) = -5x^2+20x+c

Hvor x er sekunder, og s(x) er meter over bakken

Vi vet at ved x=0, så er ballen 0 meter oppe i lufta, det gir at c = 0

S(x) = -5x^2+20x

Når ballen er på bakken er når s(x) = 0, altså når ballen er 0 meter over bakken

-5x^2 + 20x = 0

Vi bruker annengradsformelen og finner at s(x) = 0, når x=0, og x=4. Vi kan forsåvidt bevise at etter fire sekunder er ballen ved bakken ved å tegne et fortegnskjema som viser posisjonen til ballen, etter tiden langs x-aksen.

Uansett, ved logikk vet vi at ballen lander på bakken etter 4 sek.

EDIT: så nå at man egentlig skulle finne når den var på vei ned igjen. Altså når farten = 0

v(x) = 0

-10x + 20 = 0
-10x = -20
x = 2

[daofeishi]

Ser nå at jeg ikke besvarte rett spørsmål. Men siden ekstremalpunktet til en annengradsfunksjon ligger mellom røttene dens, følger det direkte fra den forrige utregninga mi at ballen faller ned igjen når x = 2.

[Themaister]

Nice. Da vet jeg at sånn jeg gjorde det var rett=P

Ja, en annen oppgave. Man kaster en gjenstand i lufta med vinkel 50 grader, og 30 m/s, hvor langt unna treffer gjenstanden bakken igjen? (Gravitasjonen er fortsatt 10 m/s^2)

[Charlatan]

Jeg løste den med vektorer...

Hastighetsvektor:
[tex]\vec{b_v} = 30[/tex]

Akselerasjonsvektor:
[tex]\vec{g_a} = -10[/tex]

Bruker litt trigonometri for å få over på koordinatform:

[tex]\vec{a_v} = [30cos(50),30cos40][/tex]
[tex]\vec{g_a} = [0,-10][/tex]

Integrerer begge over til avstandsvektorer:

[tex]\vec{b_s} = [30cos(50)t,30cos(40)t][/tex]

[tex]\vec{g_s} = [0, -5t^2][/tex]

Vi setter [tex]\vec{b_s} + \vec{g_s} = [30cos(50)t,30cos(40)t-5t^2][/tex]

Dette lager en parameterframstilling for posisjonen til gjenstanden:

[tex]l:[/tex]
[tex]\{ x=30cos(50)t[/tex]
[tex]\{ y=30cos(40)t-5t^2[/tex]

Vi finner ut når y=0 for å finne ut hvilket tidspunkt den treffer bakken:

[tex]30cos(40)t-5t^2 = 0[/tex]

alle vet hvordan man gjør en annengradslikning så: [tex]t = 6cos(40)[/tex]

For å finne avstanden fra x = 0 på x aksen, setter vi verdien for t inn i likningen:

[tex]x = 30cos(50) \cdot 6cos(40) \approx 88.63[/tex]

Vi definerte dette i meter, og sekunder, så svaret blir 88.63 meter.

Jeg tror dette skulle være riktig da.

Hvor kommer disse oppgavene fra?

[Olorin]

Nice. Da vet jeg at sånn jeg gjorde det var rett=P

Ja, en annen oppgave. Man kaster en gjenstand i lufta med vinkel 50 grader, og 30 m/s, hvor langt unna treffer gjenstanden bakken igjen? (Gravitasjonen er fortsatt 10 m/s^2)

Høres ut som fysikkoppgaver spør du meg, dette er et skrått kast.
kan også løses med bevegelseslikninger for kastbevegelser på koordinatform:

[tex]v_{0x} = v_x \\ x = v_{x}\cdot t \\v_y = v_{0y}+a_y \cdot t \\ y = v_{0y}\cdot t + \frac12 a_y\cdot t^2 \\ v_{\small{0}x} = v_0 \cdot \cos \phi \\ v_{0y} = v_0 \cdot \sin \phi[/tex]

I denne oppgaven vil du finne ut lengden av kastet i x-retning
dermed:
Horisontal utgangsfart:
[tex] v_{0x} = v_0 \cdot \cos \phi = 30 \frac{m}{s} \cdot \cos(50) = 19.284 \frac{m}{s} [/tex]
Vertikal utgangsfart:
[tex]v_{0y} = v_0 \cdot \sin \phi = 30 \frac{m}{s} \cdot \sin(50) = 22.98\frac{m}{s}[/tex]

Går ut fra at gjenstanden blir kastet fra bakken, dermed setter vi likningen y = .. = 0 for å finne neste gang gjenstanden er på bakken..

[tex]y = v_{0y}\cdot t + \frac12 a_y\cdot t^2 = 22.98\frac{m}{s} \cdot t + \frac12\cdot -10\frac{m}{s^2}\cdot t^2 = 0[/tex]
Løser ved hjelp av andregradsformelen med henhold på (t) og får t=0s og t=4.596s

Da kan du finne lengden av kastet.

[tex]x = v_{0x}\cdot t = 19.284 \frac{m}{s} \cdot 4.596s = 88.63m[/tex]

Mange veier til Rom!?

[Realist1]

Noen enkel formel der jeg bar ekan plotte inn fart og vinkel for å finne lengde eller?

Jeg lurer på hvilken vinkel jeg må kaste i for å kaste lengst mulig. Nå har jeg alltid ahtt skolerekorden i kast med baller i alle størrelser på alle skoler jeg har gått på, men hadde vært digg å få sjekket likevel. Jeg vil kaste lengst mulig. Drit i friksjon og motstand. Si jeg kaster 105 km/t (orker ikke regne det om til m/s). Hva er den optimale utgangsvinkelen og hvor langt kaster jeg da?

Og dersom jeg kaster en tennisball mot en linje 15 meter unna. Hvilken info trenger man for å vite hastigheten over linjen, når man vet at utgangshastigheten var 110 km/t? Farten synker jo hele tiden (relativ horisontal kraft eller hva det heter?)

[daofeishi]

Vi kan jo lage oss en formel. Vi bryr oss selvsagt ikke om luftmotstanden.

La oss si du kaster ballen ved v m/s og vinkel theta.

Horisontal fartskomponent:
[tex]v_h = v\cos \theta[/tex]
Vertikal fartskomponent:
[tex]v_v = v\sin \theta - 9.81t[/tex]

Vi benytter oss av at total tid i luften t' er lik 2 * tid ballen bruker før den faller ned.

[tex]t^\prime = \frac{2v\sin \theta}{9.81}[/tex]

Siden horisontal strekning s er gitt ved
[tex]s = vt\cos \theta[/tex]

ser vi at totalstrekningen S er gitt ved:
[tex]S = v \left( \frac{2v\sin \theta}{9.81} \right) cos \theta = \frac{1}{9.81}v^2 \sin (2\theta)[/tex]

Med forbehold om feil

Vi ser fra dette at du bør prøve å kaste ved en vinkel på 45 grader for at ballen skal nå så langt som mulig.

[mrcreosote]

Med utgangspunkt i den siste kommentaren om at en vinkel på 45 grader gjør at ballen flyr lengst lages en ny oppgave:

Vi kaster nå ball på samme måte, en gitt utgangsfart v og en varierende kastvinkel theta. Nå hiver vi imidlertid ikke langs et plan, men antar at vi står ved kanten av et stup (ved x) med høyde h og hiver utover:

x
------
.......|
.......| høyde h
.......|
.......---------------------o <- her lander ballen
|------------------------| lengden l av kastet

Igjen vil vi hive lengst mulig; finn den optimale kastvinkelen theta som en funksjon av v, h og g. Hvor langt blir kastet?

Jeg har regna på det tidligere og kom etter en del griserier fram til et svar som var så pent at jeg mistenker det fins en lettere vei fram. Noen som tar utfordringa?

[Charlatan]

Løser oppgaven til Realist1 med vektorer:

Definerer noen konstanter:
a=starthastigheten til gjenstanden som kastes.
g=gravitasjonskreftene som virker på ballen (negativ)
u=vinkelen mellom bakken og kastretningen

Farten til ballen kan skrives som en vektor:
[tex]\vec{B} = [a \cdot \cos{(u)}, a \cdot \sin{(u})][/tex]
Hvor vi setter vinkelen u som konstant.
Posisjonsvektoren til [tex]\vec{B}_{pos} = [a \cdot \cos{(u)}t, a \cdot \sin{(u)}t][/tex]
etter tiden t

(pos = position)

Gravitasjonskraften kan skrives slik:
[tex]\vec{G} = -g[/tex]
Posisjonsvektoren til [tex]\vec{G}_{pos} = \frac{-g}{2}t^2[/tex]
etter tiden t

[tex]\vec{B}_{pos} + \vec{G}_{pos} = [a \cdot \cos{(u)}t, a \cdot \sin{(u)}t - \frac{g}{2}t^2][/tex]

Vi har nå fått en parameterframstilling til gjenstanden ved tiden t.

[tex]l: [/tex]
[tex]\{ x = a \cdot \cos{(u)}t[/tex]
[tex]\{ y = a \cdot \sin{(u)}t - \frac{g}{2}t^2[/tex]

Vi finner nå ut for hvilke t at y = 0 (altså når ballen treffer bakken)

[tex]y = a \cdot \sin{(u)}t - \frac{g}{2}t^2 = 0[/tex]

[tex]a \cdot \sin{(u)}t = \frac{g}{2}t^2[/tex]

[tex]a \cdot \sin{(u)} = \frac{g}{2}t[/tex]

[tex]\frac{a \cdot \sin{(u)}}{\frac{g}{2}} = t[/tex]

[tex]t = \frac{2a \cdot \sin{(u)}}{g}[/tex]

Vi setter dette inn for t i parameterframstillingen for x, for å finne ut hvor langt ballen har blitt kastet:

[tex]x = a \cdot \cos{(u)}t[/tex]

[tex]x = a \cdot \cos{(u)} \cdot \frac{2a \cdot \sin{(u)}}{g}[/tex]

[tex]x = \frac{2a^2}{g} \cdot \cos{(u)} \cdot \sin{(u)}}[/tex]

Nå setter vi vinkelen u inn som en variabel, og får funksjonen:

[tex]s(u) = \frac{2a^2}{g} \cdot \cos{(u)} \cdot \sin{(u)}}[/tex]

For å finne ut når denne er størst mulig, deriverer vi den:

[tex]s^\prime(u) = (\frac{2a^2}{g} \cdot \cos{(u)} \cdot \sin{(u)}})^\prime[/tex]

[tex]s^\prime(u) = \frac{2a^2}{g} \cdot (\cos{(u)} \cdot \sin{(u)}})^\prime[/tex]

[tex](\cos{(u)} \cdot \sin{(u)}})^\prime = (\cos{(u)})^\prime \cdot sin{(u)} + (\sin{(u)})^\prime \cdot \cos{(u)} = -\sin{(u)} \cdot sin{(u)} + \cos{(u)} \cdot \cos{(u)} = \cos^2{(u)} - \sin^2{(u)}[/tex]

[tex]s^\prime(u) = \frac{2a^2}{g} \cdot (\cos^2{(u)} - \sin^2{(u)})[/tex]

Setter [tex]s^\prime(u) = 0[/tex]

[tex]\frac{2a^2}{g} \cdot (\cos^2{(u)} - \sin^2{(u)}) = 0[/tex]

Siden både a og g er konstanter, kan vi fjerne dem:

[tex]\frac{2a^2}{g} \cdot (\cos^2{(u)} - \sin^2{(u)}) \cdot \frac{g}{2a^2} = 0 \cdot \frac{g}{2a^2}[/tex]

[tex]\cos^2{(u)} - \sin^2{(u)} = 0[/tex]

[tex]\cos^2{(u)} = \sin^2{(u)} [/tex]

[tex]\frac{\cos^2{(u)}}{\cos^2{(u)}} = \frac{\sin^2{(u)}}{\cos^2{(u)}}[/tex]

[tex]1 = \tan^2{(u)}[/tex]

[tex]\sqrt{\tan^2{(u)}} = \sqrt{1}[/tex]

[tex]\tan{(u)} = \pm 1[/tex]

[tex]\tan{(u)} = 1 \Rightarrow u_1 = 45^\circ[/tex] eller [tex] u_2 = 225^\circ [/tex]

[tex]\tan{(u)} = -1 \Rightarrow u_1 = 135^\circ [/tex] eller [tex] u_2 = 315^\circ[/tex]

Siden u må være mellom 0, og 90 grader, er [tex]u = 45^\circ[/tex] for at kastet skal bli lengst, uavhengig av hvor stor starthastighet, eller gravitasjonskraft.

(jeg vet, dritlang oppgave, men hva har man sommeren til?)

[mrcreosote]

Jeg svarer meg sjøl; på oppgava jeg ga tror jeg (etter hukommelsen og numerisk sjekk) at optimal kastvinkel er [tex]\theta = \arctan{\frac v{\sqrt{v^2+2gh}}[/tex]. Merk at dette også stemmer overens med h=0.

Som sagt grisa jeg endel da jeg skulle finne dette:

Jeg finner med standardnotasjon

[tex]x = v\cos\theta\cdot t \\ y = v\sin\theta\cdot t -\frac12gt^2[/tex]

og løser y=h for t, setter inn løsninga i x(t), og løser [tex]\frac{dx}{d\theta}=0[/tex] på theta som etter mye regning som nevnt gir [tex]\theta = \arctan{\frac v{\sqrt{v^2+2gh}}[/tex]. Noen bedre? Energibetraktninger?

[Charlatan]

Hva betyr notasjonen: [tex]\frac{dx}{d\theta}[/tex]

[Janhaa]

Hva betyr notasjonen: [tex]\frac{dx}{d\theta}[/tex]

deriverte av x mhp [tex]\,\theta \,[/tex]
der
[tex]\frac{{\rm dx}}{{\rm d\theta}}=x^,({\theta})[/tex]

---------------------------------------------------------------------------
f.eks.

[tex]x=vt \cos(\theta)[/tex]
er
[tex]x^,(\theta)=-vt\sin(\theta)[/tex]