Hei! Noen som vet hvordan man skal trekke sammen dette uttrykket? Er litt usikker på det med tredjerøttene... Takker så mye for eventuell hjelp!
(3 [symbol:rot] u + 3 [symbol:rot] v)^3 - 7(3 [symbol:rot] u + 3 [symbol:rot] v) + 5 = 0
Presirer at (3 [symbol:rot] u + 3 [symbol:rot] v) skal leses som tredjerota av u og v.
Trekke sammen uttrykk med tredjerøtter
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Husk at [tex](a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex]
Tredjerot kan skrives som [tex]u^{\frac{1}{3}}[/tex]
Og [tex] (u^a)^b = u^{a \cdot b} [/tex]
[tex](u^{\frac{1}{3}} + v^{\frac{1}{3}})^3 - 7(u^{\frac{1}{3}} + v^{\frac{1}{3}}) + 5 = 0[/tex]
[tex]u + 3u^{\frac{2}{3}}v^{\frac{1}{3}} + 3u^{\frac{1}{3}} v^{\frac{2}{3}} + v - 7u^{\frac{1}{3}} - 7u^{\frac{1}{3}} + 5 =0[/tex]
[tex]u+ v -14u^{\frac{1}{3}} + 3u^{\frac{2}{3}}v^{\frac{1}{3}} + 3u^{\frac{1}{3}} v^{\frac{2}{3}} + 5 = 0[/tex]
Du har skrevet uttrykket som en likning med to ukjente. Uten mer informasjon kan den ikke løses, så jeg tror jeg stopper her.
Tredjerot kan skrives som [tex]u^{\frac{1}{3}}[/tex]
Og [tex] (u^a)^b = u^{a \cdot b} [/tex]
[tex](u^{\frac{1}{3}} + v^{\frac{1}{3}})^3 - 7(u^{\frac{1}{3}} + v^{\frac{1}{3}}) + 5 = 0[/tex]
[tex]u + 3u^{\frac{2}{3}}v^{\frac{1}{3}} + 3u^{\frac{1}{3}} v^{\frac{2}{3}} + v - 7u^{\frac{1}{3}} - 7u^{\frac{1}{3}} + 5 =0[/tex]
[tex]u+ v -14u^{\frac{1}{3}} + 3u^{\frac{2}{3}}v^{\frac{1}{3}} + 3u^{\frac{1}{3}} v^{\frac{2}{3}} + 5 = 0[/tex]
Du har skrevet uttrykket som en likning med to ukjente. Uten mer informasjon kan den ikke løses, så jeg tror jeg stopper her.
Men dette uttrykket skal, om jeg har skjønt det riktig, være en del av et ledd i en løsningsmetode for tredjegradsligninger. Sitter med den løsningsmetoden foran meg nå, men det er noe som er litt uklart for meg, og kanskje du, eller noen andre kan forklare det litt nærmere hvis dere er kjent med den?
Først står det at man skal redusere ligningen fra formen (ax^3 + bx^2 + cx + d = 0) til en ligning på formen (y^3 + 3py + 2q = 0) ved å sette x = y - (b/3a). Den er grei. Ligningen som skal løses er (x^3 + 3x^2 - 4x - 1 = 0), som på redusert form blir (y^3 - 7y + 5 = 0).
Neste steg står det så at er å sette y = 3[symbol:rot]u + 3[symbol:rot]v (tredjerota av u + tredjerota av v). Jeg har tolket det dithen at man skal erstatte y med 3[symbol:rot]u + 3[symbol:rot]v i den reduserte ligningen, og da får jeg det uttrykket jeg spurte om hjelp til å trekke sammen i det første innlegget. Men da begynner det å bli litt uklart hva jeg skal gjøre videre. Videre i løsningsmetoden står det listet opp fire følgende ligniger:
u^2 + 2qu - p^3 = 0
u = -q + [symbol:rot](q^2 + p^3)
v = -q - [symbol:rot](q^2 + p^3)
x = 3[symbol:rot]u + 3[symbol:rot]v - (b/3a)
Skjønner ikke helt hvordan jeg skal bruke det uttrykket jeg har fått i disse ligningene. Noen som har vært borti denne løsningsmetoden før og kan forklare litt nærmere? Det hadde vært helt supert!
Håper dere skjønner hva jeg vil fram til her!
Takker så mye for all hjelp!
Først står det at man skal redusere ligningen fra formen (ax^3 + bx^2 + cx + d = 0) til en ligning på formen (y^3 + 3py + 2q = 0) ved å sette x = y - (b/3a). Den er grei. Ligningen som skal løses er (x^3 + 3x^2 - 4x - 1 = 0), som på redusert form blir (y^3 - 7y + 5 = 0).
Neste steg står det så at er å sette y = 3[symbol:rot]u + 3[symbol:rot]v (tredjerota av u + tredjerota av v). Jeg har tolket det dithen at man skal erstatte y med 3[symbol:rot]u + 3[symbol:rot]v i den reduserte ligningen, og da får jeg det uttrykket jeg spurte om hjelp til å trekke sammen i det første innlegget. Men da begynner det å bli litt uklart hva jeg skal gjøre videre. Videre i løsningsmetoden står det listet opp fire følgende ligniger:
u^2 + 2qu - p^3 = 0
u = -q + [symbol:rot](q^2 + p^3)
v = -q - [symbol:rot](q^2 + p^3)
x = 3[symbol:rot]u + 3[symbol:rot]v - (b/3a)
Skjønner ikke helt hvordan jeg skal bruke det uttrykket jeg har fått i disse ligningene. Noen som har vært borti denne løsningsmetoden før og kan forklare litt nærmere? Det hadde vært helt supert!
Håper dere skjønner hva jeg vil fram til her!
Takker så mye for all hjelp!