volumet til en del av en kule
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Sliter litt med å frembringe gammel logikk: Hvis man har en kule med r = 30 og vil finne volumet og/eller radiusen til tverrsnittet når vi er på høyden 10 cm i kula, hvordan går man frem da? forsøker med integrasjon her, men er ikke helt i land...
Tegn opp en sirkel med r=30 i et koordinatsystem.
Du lager en rettvinklet trekant langs y-aksen med høyde 10 med hypotenusen fra origo til kanten av sirkelen. Hypotenusen er 30 siden den er lengden av radiusen.
Vi bruker Pytagoras:
[tex]10^2+x^2=30^2 \\ x^2=800 \\ x=20\sqrt{2}[/tex]
Dette er da radiusen på tverrsnittet parallell med x-aksen.
[tex]r=20\sqrt{2}[/tex]
Regner med du mente Arealet av dette tverrsnittet og ikke volumet:
[tex]A=\pi r^2 \\ a=\pi \cdot (20\sqrt{2})^2=800\pi \approx 2513.3[/tex]
Arealet er da [tex]2513.3cm^2[/tex]
Mulig jeg misforsod oppgaven. Var dette hva du mente?
Du lager en rettvinklet trekant langs y-aksen med høyde 10 med hypotenusen fra origo til kanten av sirkelen. Hypotenusen er 30 siden den er lengden av radiusen.
Vi bruker Pytagoras:
[tex]10^2+x^2=30^2 \\ x^2=800 \\ x=20\sqrt{2}[/tex]
Dette er da radiusen på tverrsnittet parallell med x-aksen.
[tex]r=20\sqrt{2}[/tex]
Regner med du mente Arealet av dette tverrsnittet og ikke volumet:
[tex]A=\pi r^2 \\ a=\pi \cdot (20\sqrt{2})^2=800\pi \approx 2513.3[/tex]
Arealet er da [tex]2513.3cm^2[/tex]
Mulig jeg misforsod oppgaven. Var dette hva du mente?
Hvis vi bruker tankeeksperimentet ditt Realist1, så kan vi finne radiusen til den delen av kula som er under vann uten noe særlig dilldall.
Se på figuren under
På bilde så er den radiusen vi skal finne kalt x. Da ser vi at vi får
[tex]x^2 = r^2-(r-h)^2[/tex]
[tex]x = \sqrt{500}=10\sqrt{5}[/tex]
Foreløpig så tror jeg ting blir litt verre når vi skal finne volumet. Men jeg tenker at vi kan først finne arealet av sirkelsektoren og så dreie dette så mange grader som tilsvarer vinkelen mellom de to stiplede linjene på tegningen rundt x-aksen, og så gjøre det samme med trekanten. Da vil vi finne volumet av den delen som er under vann ved å ta det første volumet minus det andre.
Men dette krever en teknikk som jeg ennå ikke kan, men jeg skal prøve å lære meg det i løpet av dagen
Se på figuren under
På bilde så er den radiusen vi skal finne kalt x. Da ser vi at vi får
[tex]x^2 = r^2-(r-h)^2[/tex]
[tex]x = \sqrt{500}=10\sqrt{5}[/tex]
Foreløpig så tror jeg ting blir litt verre når vi skal finne volumet. Men jeg tenker at vi kan først finne arealet av sirkelsektoren og så dreie dette så mange grader som tilsvarer vinkelen mellom de to stiplede linjene på tegningen rundt x-aksen, og så gjøre det samme med trekanten. Da vil vi finne volumet av den delen som er under vann ved å ta det første volumet minus det andre.
Men dette krever en teknikk som jeg ennå ikke kan, men jeg skal prøve å lære meg det i løpet av dagen
Ok, så du ønsket volumet av rommet tverrsnittet avgrenset fra resten av kulen. 
Frank CJ: Selvfølgelig blir ditt svar rett, jeg tenkte 10 cm fra sentrum som ikke var riktig.
Kan prøve meg på volum-oppgaven ved integrasjon:
Vi tegner opp en sirkel som skal representere tverrsnittet av en kule i et koordinatsystem med sentrum i origo. Radiusen er 30. Volumet av kula som er avgrenset av tverrsnittet langs y-aksen ved x=20, og x=30 ("enden" av kula).
Forestill dere kulen Frank KJ fint illustrerte dreiet 90 grader med snittet mot den positive x-aksen.
Halvsirkelen i den positive x-aksen har funksjonen:
[tex]f(x) = \sqrt{30^2-x^2}[/tex]
Ved å skissere hva vi gjør, finner vi ut at f(k) er radiusen av tverrsnittet av kulen ved x=k. Da vil arealet av denne sirkelen være: [tex]A= \pi(f(k))^2[/tex]
Hvis vi integrerer over arealene av sirklene med infinitesimal mellomrom mellom hverandre finner vi volumet av dette stykket. Grensene vil bli x=20, og x=30. Vi setter opp integralet for volumet:
[tex]V=\pi \int^{30}_{20} (f(x))^2 dx = \pi \int^{30}_{20} (900-x^2)dx = \pi[900x-\frac{x^3}{3}]^{30}_{20} = \pi((900 \cdot 30 - \frac{30^3}{3})-(900 \cdot 20 - \frac{20^3}{3}))= \pi(\frac{8000}{3})[/tex]
Volumet er da: [tex]V= \frac{8000}{3}\pi[/tex]
Tror dette skulle bli riktig.
Frank CJ: Selvfølgelig blir ditt svar rett, jeg tenkte 10 cm fra sentrum som ikke var riktig.
Kan prøve meg på volum-oppgaven ved integrasjon:
Vi tegner opp en sirkel som skal representere tverrsnittet av en kule i et koordinatsystem med sentrum i origo. Radiusen er 30. Volumet av kula som er avgrenset av tverrsnittet langs y-aksen ved x=20, og x=30 ("enden" av kula).
Forestill dere kulen Frank KJ fint illustrerte dreiet 90 grader med snittet mot den positive x-aksen.
Halvsirkelen i den positive x-aksen har funksjonen:
[tex]f(x) = \sqrt{30^2-x^2}[/tex]
Ved å skissere hva vi gjør, finner vi ut at f(k) er radiusen av tverrsnittet av kulen ved x=k. Da vil arealet av denne sirkelen være: [tex]A= \pi(f(k))^2[/tex]
Hvis vi integrerer over arealene av sirklene med infinitesimal mellomrom mellom hverandre finner vi volumet av dette stykket. Grensene vil bli x=20, og x=30. Vi setter opp integralet for volumet:
[tex]V=\pi \int^{30}_{20} (f(x))^2 dx = \pi \int^{30}_{20} (900-x^2)dx = \pi[900x-\frac{x^3}{3}]^{30}_{20} = \pi((900 \cdot 30 - \frac{30^3}{3})-(900 \cdot 20 - \frac{20^3}{3}))= \pi(\frac{8000}{3})[/tex]
Volumet er da: [tex]V= \frac{8000}{3}\pi[/tex]
Tror dette skulle bli riktig.
Det du har gjort er helt sikkert korrekt, men jeg kan ikke skjønne hvorfor jeg får et annerledes svar når jeg gjør det på en litt annen måte. Altså:
Finner først et funksjonsuttrykk A(x) for arealet av tverrsnittet som "vannet" deler kulen opp i, ettersom arealet varier jo lengre ned mot bunnen av kula vi kommer. Tidligere kalte jeg den ukjente radien for x, og dybden av vannet for h. Nå definerer jeg r0 = x (ukjent radius) og x = h. Altså jeg hadde tidligere at
[tex]x=sqrt{r^2-(r-h)^2}[/tex]
med de nye definisjonene får jeg
[tex]x=h[/tex]
[tex]r_0=sqrt{r^2-(r-x)^2}[/tex]
Da får vi et funksjonsuttrykk for arealet A(x) av tverrsnittet
[tex]A(x) = \pi r_0^2=\pi (sqrt{r^2-(r-x)^2})^2[/tex]
[tex]A(x)=2\pi r x - \pi x^2[/tex]
Da burde vi jo klare å finne volumet av den delen av kula som er under vann ved å regne ut det bestemte integralet
[tex]\int^{10}_{0} A(x) dx[/tex]
ettersom summen av disse arealene utgjør volumet. Enig?
Jeg får hvertfall
[tex]\int^{10}_{0} A(x)dx = \int^{10}_{0} (2\pi r x-\pi x^2)dx=[\pi rx^2-\frac{\pi}{3}x^3]^{10}_{0}[/tex]
[tex]=\pi 10\sqrt{5}\cdot 10^2 - \frac{\pi}{3}\cdot 10^3=1000\pi (\frac{3\sqrt{5}-1}{3})[/tex]
Jeg venter på korreksjoner ..
Finner først et funksjonsuttrykk A(x) for arealet av tverrsnittet som "vannet" deler kulen opp i, ettersom arealet varier jo lengre ned mot bunnen av kula vi kommer. Tidligere kalte jeg den ukjente radien for x, og dybden av vannet for h. Nå definerer jeg r0 = x (ukjent radius) og x = h. Altså jeg hadde tidligere at
[tex]x=sqrt{r^2-(r-h)^2}[/tex]
med de nye definisjonene får jeg
[tex]x=h[/tex]
[tex]r_0=sqrt{r^2-(r-x)^2}[/tex]
Da får vi et funksjonsuttrykk for arealet A(x) av tverrsnittet
[tex]A(x) = \pi r_0^2=\pi (sqrt{r^2-(r-x)^2})^2[/tex]
[tex]A(x)=2\pi r x - \pi x^2[/tex]
Da burde vi jo klare å finne volumet av den delen av kula som er under vann ved å regne ut det bestemte integralet
[tex]\int^{10}_{0} A(x) dx[/tex]
ettersom summen av disse arealene utgjør volumet. Enig?
Jeg får hvertfall
[tex]\int^{10}_{0} A(x)dx = \int^{10}_{0} (2\pi r x-\pi x^2)dx=[\pi rx^2-\frac{\pi}{3}x^3]^{10}_{0}[/tex]
[tex]=\pi 10\sqrt{5}\cdot 10^2 - \frac{\pi}{3}\cdot 10^3=1000\pi (\frac{3\sqrt{5}-1}{3})[/tex]
Jeg venter på korreksjoner ..
Hehe, alltid gøy når ingen skjønner bæret av det jeg driver med. Neida, er bare jeg som er dårlig til å forklare... Men hvis du har skjønt at A(x) er arealet for snittet av kula ved "vannflaten", er det en start. Senere summerer jeg bare de forskjellige arealene nedover mot bunnen av kula ved integrasjon.