3MX: sum av sinus og cosinus

[jchrjc]

Jeg har ikke helt forstått hvordan man går frem for å løse likninger av typen; asinkx + bcoskx = c (skal løses uten bruk av tilnærmingsverdier).

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven? =)
sin[symbol:pi]x + [symbol:rot]3 *cos[symbol:pi]x = [symbol:rot]3

x skal være i det lukkede intervallet [0,2]

Fasit: x=0, x=1/3, x=2

[ettam]

Se hva Olorin skriver i sitt svar her:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hlight=cos

Da skulle du greie resten selv, ok?

[arildno]

Jeg har ikke helt forstått hvordan man går frem for å løse likninger av typen; asinkx + bcoskx = c (skal løses uten bruk av tilnærmingsverdier).

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven? =)
sin[symbol:pi]x + [symbol:rot]3 *cos[symbol:pi]x = [symbol:rot]3

x skal være i det lukkede intervallet [0,2]

Fasit: x=0, x=1/3, x=2

Vi husker på summe-formelen for sinus:
[tex]\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)[/tex]
Legg merke til at hvis vi setter u=kx, så får vi:
[tex]\sin(kx+v)=\cos(v)\sin(kx)+\sin(v)\cos(kx)[/tex]
Legg merke til at for hvert ledd i dette uttrykket har vi med en av faktorene fra leddene på høyresiden i ligningen vår, henholdsvis faktorene sin(kx) og cos(kx).

Ideen vår nå er å utnytte:
1. Både sinus og cosinus gjennomløper ALLE tallverdier mellom -1 og 1.
2. sinusverdiene og cosinusverdiene til en gitt vinkel y er sammenkoblet ved identiteten [tex]\sin^{2}y+\cos^{2}y =1[/tex], for alle tallvalg y.

3. Vi har at uansett hvilke tall a og b er, så er [tex](\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}})^{2}+(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}})^{2}=1[/tex].

Derfor vil det alltid finnes vinkel v slik at:
[tex]\cos(v)=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\sin(v)=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}[/tex]

4. Vi kan alltide erstatte et tall med 1 ganger tallet, uansett hvor tallet er å finne.

5. Uansett hva a og b er, er det alltid riktig at: [tex]1=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}[/tex]

6. Vi kan nå manipulere venstresiden av ligningen vår:
[tex]\sin(\pi{x})+\sqrt{3}\cos\pi{x}=\sqrt{3}[/tex]
[tex]1*\sin(\pi{x})+\sqrt{3}\cos\pi{x}=\sqrt{3}, a=1,b=\sqrt{3}[/tex]
[tex]\frac{2}{2}(1*\sin(\pi{x})+\sqrt{3}\cos\pi{x})=\sqrt{3},\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2[/tex]
[tex]2(\frac{1}{2}\sin\pi{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\pi{x})=\sqrt{3}[/tex]
Vi skal nå finne en vinkel v slik at:
[tex]\cos(v)=\frac{1}{2},\sin(v}=\frac{\sqrt{3}}{2}\to{v}=\frac{\pi}{3}[/tex]

Dermed kan vi omskrive venstresiden en gang til:
[tex]2\sin(\pi{x}+\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}[/tex]

Nå kan du prøve å løse denne likningen!