matematikk.net

Hei, trur jeg har kommet borti et integral som behøver litt triksing. Trenger hjelp

[tex]\int e^x cos2xdx[/tex]

[tex]u^\prime = cos2x \qquad u = \frac{1}{2}sin2x \qquad v = e^x \qquad v^\prime = e^x[/tex]

[tex]\int e^x cos2xdx = \frac{1}{2}sin2xe^x - \int \frac{1}{2}sin2xe^x dx[/tex]

[tex]\int e^x cos2xdx = \frac{1}{2}sin2xe^x - \frac{1}{2}\int sin2xe^x dx[/tex]

Her får vi en ny delvis integrasjon [tex]u^\prime = sin2x \qquad u = -\frac{1}{2}cos2x[/tex]

[tex]\int e^x cos2xdx = \frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}(- \frac{1}{2} cos2xe^x - \int (-\frac{1}{2}cos2x)e^x dx)[/tex]

[tex]\int e^x cos2xdx = \frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}cos2xe^x -\frac{1}{2} \int cos2xe^x dx[/tex]

Her er muligens trikset at begge integralene er like, og vi kan da flytte over å få:

[tex]\int e^xcos2xdx + \frac{1}{2}\int e^xcos2xdx = \frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}cos2xe^x[/tex]

[tex]\frac{3}{2}\int e^xcos2xdx = \frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}cos2xe^x[/tex]

Kan jeg nå gange alle ledd med [tex]\frac{3}{2}[/tex] får å finne svaret? Godt mulig jeg er totalt på bærtur, men jeg kommer ikke frem til noen annen løsning. Tar litt tid denne TEX'en, men øvelse gjør vel mester etterhvert

Ta å deriver svaret ditt, 0.5sin(2x) + 0.25cos(2x)e[sup]x[/sup] + C, og
sjekk om dette blir lik integranden. (Om du evt kan omforme uttrykket til integranden).

Du kan enten dele alle ledd på 3/2, eller gange alle ledd med 2/3. Da skal svare generelt stemme.

En algebraisk enklere metode er å substituere 2x med u.