Nivå 2MX - Tangentlikning

[Wentworth]

a) Finn tagentlikningen for tagenten i punktet [tex](-2,f(-2))[/tex].

Funksjonen er [tex]f(x)=\frac{1}{3}\ x^3-x^2-3x+9[/tex]

Prøver ut :

Deriverer :
[tex]f`(x)=x^2-2x-3[/tex]


Regner først ut f(-2) for å finne stigningstallet :

a=f`(-2)=(-2)^2-2*(-2)-3=5

Stigningstallet til tagenten i (-2,f(-2)) er 5.

Tagenten går gjennom punktet (-2,f(-2))=(-2,5)

Bruker ettpunktsregelen :

[tex]y-y1=a(x-x1)[/tex]

[tex]y-5=5(x+2)[/tex]
[tex]y=5x+10+5[/tex]
[tex]y=5x+15[/tex]

Likning [tex]y=5x+15.[/tex]

Fasiten sier [tex]5x+ \frac {55}{3}[/tex]

Hvor bommer jeg?

Setter pris på all hjelp som mulig .Takk

[Knut Erik]

Jeg ville sett litt på verdien du har fått for [tex]y_1[/tex] i utrykket.

Husk:
[tex]y - y_1 = \frac{d y_1}{dx}\cdot (x - x_1)[/tex]

[Wentworth]

[tex]y - y_1 = \frac{d y_1}{dx}\cdot (x - x_1)[/tex]

Denne formelen her ,hva betyr det i detaljer? Spesielt denne [tex] \frac{d y_1}{dx}[/tex]

[Lord X]

Det er jo etpunktformelen. (x1,y1) er det kjente punktet og dy1/dx betyr stigningstallet for funksjonen y i punktet y1, dvs. stigningstallet for linja du skal finne.

Poenget er at du har funnet feil verdi for f(-2)..

[Wentworth]

Har jeg derivert funksjonen feil?

Stigningstallet blir jo 5.

[Lord X]

Ja men punktet (-2, f(-2)), blir IKKE (-2,5) men (-2, 25/3).

[Klaus Knegg]

Skjønner ikke helt den etpunkt-greia. Jeg ville satt opp det som en likning
for å finne hvilken verdi av b som passer i uttrykket når x=-2
[tex]f(x)=f^,(x)x+b[/tex]
Du har da en likning med en ukjent

[Wentworth]

Fra funksjonen [tex]f(x)[/tex] :
[tex] f(x)=\frac{1}{3}(-2)^3-(-2)^2-3*(-2)+9=8,3333[/tex] eller [tex] \frac{25}{3}[/tex]

Ettpunktsregelen :
[tex]y-y1=a(x-x1)[/tex]
[tex]y=5(x+2)+{\frac{25}{3}}[/tex]
[tex]y=5x+10+{\frac {25}{3}}[/tex]
[tex]y=5x+{\frac{55}{3}}[/tex]

[Wentworth]

Skjønner ikke helt den etpunkt-greia. Jeg ville satt opp det som en likning
for å finne hvilken verdi av b som passer i uttrykket når x=-2
[tex]f(x)=f^,(x)x+b[/tex]
Du har da en likning med en ukjent

Dette er fra R1 det,skjønte ikke den ass...

[Klaus Knegg]

Er ikke fra R1, nei. Gjorde det slik da jeg tok 1T i fjor, om ikke så elegant, kanskje.

Kan prøve å forklare hva jeg gjør algebraisk og kanskje koke dette ned til en huskeregel
Poenget er at du finner en konstant b som gjør at tangenten med et stigningstall f'(x) går gjennom det valgte punktet (x,f(x)) på funksjonen f for den gitte verdien av x.

------- Kun et eksempel - har ingenting med oppgaven å gjøre! ----
Du kan sammenligne det med at du vil finne en konstant slik at [tex]y=5x+b[/tex] går gjennom punktet (3,20).
Fremgangsmåten er at du setter [tex]x=3, y=20[/tex] og løser.
[tex]20=5\cdot 3+b[/tex] gir oss at b = 5.
Sett inn x og y igjen. y=5x+5. Du har da funnet konstantleddet som oppfyller at linja går gjennom punktet (3,20).
-----------------------------------------------------------------------------

Likningen til en tangent er lineær og har derfor også formen y=ax+b.
Anta nå at vi vil finne verdiene a og b for linja som tangerer en funksjon f i et gitt punkt [tex](x_1,f(x_1))[/tex].
Som du allerede vet, er stigningstallet a til denne tangenten gitt ved
[tex]f^,(x_1)[/tex]
Videre vil vi at linja skal gå gjennom punktet vi nettopp nevnte.
Sammenligner du dette med eksempelet mitt, ser du at vi finner konstantleddet som oppfyller dette ved å sette
[tex] x=x_1,y=f(x_1)[/tex]
------
Da vet vi at [tex]f(x_1)=f^,(x_1)x_1+b[/tex]
Dette gir oss at [tex]b=f(x_1)-f^,(x_1)x_1[/tex], det var dette jeg gjorde i den tidligere posten.
------
Vi kan nå fortsette ved å sette tilbake x og y som i eksempelet, men vi har nå også funnet verdiene for både a og b. Derfor setter vi dette inn i uttrykket y=ax+b og ender opp med en enkel måte å finne denne likningen på:

[tex]y=f^,(x_1)\cdot x+f(x_1)-f^,(x_1)\cdot x_1[/tex]
Siden dette ble gjort algebraisk, vil dette stemme for alle funksjoner f(x).
Dette kan ved faktorisering videreføres til den etpunktregelen jeg ikke skjønte i starten.
[tex]y=f^,(x_1)\cdot (x-x_1)+f(x_1)[/tex]
Jaja, man lærer så lenge man lever


Litt dårlig til å forklare, skal jeg ærlig innrømme...
Phew.. lang post

[Wentworth]

Hvordan kommer du fram til (3,20) ?

[Vektormannen]

Det er vel bare et eksempel?

[Klaus Knegg]

Stemmer, vektormann Gjorde det så det skulle være lettere å se tankegangen videre i forklaringen =)

[Wentworth]

Jeg holder meg til ettpunktformelen. Synes den er for meg som vektormannen tipper jeg....

[Vektormannen]

Jeg holder meg til ettpunktformelen. Synes den er for meg som vektormannen tipper jeg....

Funker nok greiest å bruke ettpunktsformelen ja, men å lese litt nøye gjennom det Klaus Knegg har skrevet vil kanskje gi deg en bedre forståelse for en del ting. Det fikk i alle fall jeg etter å ha lest det